【图的应用一:最小生成树】- 用 C 语言实现普里姆算法

目录

一、最小生成树 

二、普里姆算法的构造过程

三、普里姆算法的实现


 


一、最小生成树 

假设要在 n 个城市之间建立通信联络网,则连通 n 个城市只需要 n - 1 条线路。这时,自然会考虑这样一个问题,如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。

在每两个城市之间都可设置一条线路,相应地都要付出一定的经济代价。n 个城市之间,最多可能设置 ​ C_n^2 = \dfrac{n(n - 1)}{2} 条线路,那么如何在这些可能的线路中选择 n - 1 条,以使总的耗费最少呢

可以用连通网来表示 n 个城市,以及 n 个城市间可能设置的通信路线,其中网的顶点表示城市,边表示两城市之间的线路,赋予边的权值表示相应的代价。对于 n 个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树,每一颗生成树都可以是一个通信网,最合理的通信网应该是各边代价之和最小的那颗生成树,称为连通网的最小代价生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称最小生成树

构造最小生成树有多种算法,其中多数算法利用了最小生成树的下列一种简称为 MST 的性质

假设 N = (V, E) 是一个连通网,U 是顶点集 V 的一个非空真子集。若 (u, v) 是 N 中所有的一个顶点在 U(u \in U​)中,另一个顶点在 V - U(​v \in V - U)中的边里,具有最小权值的一条边,则必存在一棵包含边 (u, v) 的最小生成树。

可以用反证法来证明

假设网 N 的任何一棵最小生成树都不包含边 (u, v),T 是连通网上的一棵最小生成树,由生成树的定义可知,T 中必存在一条从 u 到 v 的路径 P,且在 P 上必存在一条边 (u', v'),其中 u' \in U, v' \in V - U​。

当将边 (u, v) 加入到 T 中时,(u, v) 和 P 构成了一条回路,删去 (u', v') 便可消除回路,同时得到另一颗生成树 T‘。因为 (u, v) 的权值不高于 (u', v'),所以 T' 的权值亦不高于 T,那么 T’ 是包含 (u, v) 的一棵最小生成树,和假设矛盾。

普里姆(Prim)算法克鲁斯卡尔(Kruskal)算法是两个利用 MST 性质构造最小生成树的算法。


二、普里姆算法的构造过程

假设 N = (V, E) 是连通网,TE 是 N 上最小生成树中边的集合。

  1. U = \{u_0\}(u_0 \in V), TE = \{\}​。

  2. 在所有 ​u \in U, v \in V - U 的边 (u, v) \in E 中找一条权值最小的边 (u_0, v_0) 并入集合 TE,同时 ​v_0 并入 U。

  3. 重复 2,直至 U = V 为止。

此时 TE 中必有 n - 1 条边,则 T = (V, TE) 为 N 的最小生成树。

下图所示为一个连通网 G5 从 v1 开始构造最小生成树的例子。可以看出,普里姆算法逐步增加 U 中的顶点,可称为 "加点法"

每次选择最小边时,可能存在多条同样权值的边可选,此时任选其一即可


三、普里姆算法的实现

假设无向网 N邻接矩阵形式存储,从顶点 u 出发构造 N 的最小生成树 T,要求输出 T 的各条边。

为实现这个算法附设了两个辅助数组 lowcostArr 和 adjVexPosArr。对每个顶点 ,lowcostArr[i - 1] = Min{ cost​ },即表示 N 中所有的一个顶点在 U 中,另一个顶点是 vi 的边里,最小边上的权值;adjVexPosArr[i - 1] 则表示那条最小边在 U 中的那个顶点在图中的位置

AMGraph.h

#pragma once
​
// 无向网
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
​
#define DEFAULT_CAPACITY 2
​
typedef struct AMGraph
{VertexType* vertices;EdgeType** edges;int vSize;int eSize;int capacity;
}AMGraph;
​
// 基本操作
void AMGraphInit(AMGraph* pg);
​
void ShowAdjMatrix(AMGraph* pg);
​
int GetVertexPos(AMGraph* pg, VertexType v);
​
void InsertVertex(AMGraph* pg, VertexType v);
void InsertEdge(AMGraph* pg, VertexType v1, VertexType v2, EdgeType cost);
​
// 普里姆算法
void MiniSpanTree_Prim(AMGraph* pg, VertexType u);

AMGraph.c

#include "AMGraph.h"
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
​
void AMGraphInit(AMGraph* pg)
{assert(pg);pg->vSize = pg->eSize = 0;pg->capacity = DEFAULT_CAPACITY;pg->vertices = (VertexType*)malloc(sizeof(VertexType) * pg->capacity);assert(pg->vertices);
​pg->edges = (EdgeType**)malloc(sizeof(EdgeType*) * pg->capacity);assert(pg->edges);for (int i = 0; i < pg->capacity; ++i){pg->edges[i] = (EdgeType*)malloc(sizeof(EdgeType) * pg->capacity);assert(pg->edges[i]);for (int j = 0; j < pg->capacity; ++j){if (i == j)pg->edges[i][j] = 0;elsepg->edges[i][j] = INT_MAX;}}
}
​
void ShowAdjMatrix(AMGraph* pg)
{assert(pg);printf("  ");for (int i = 0; i < pg->vSize; ++i){printf("%c ", pg->vertices[i]);}printf("\n");
​for (int i = 0; i < pg->vSize; ++i){printf("%c ", pg->vertices[i]);for (int j = 0; j < pg->vSize; ++j){if (pg->edges[i][j] == INT_MAX)printf("# ");  // 用 # 代替 ∞elseprintf("%d ", pg->edges[i][j]);}printf("\n");}
}
​
int GetVertexPos(AMGraph* pg, VertexType v)
{assert(pg);for (int i = 0; i < pg->vSize; ++i){if (pg->vertices[i] == v)return i;}return -1;
}
​
void InsertVertex(AMGraph* pg, VertexType v)
{assert(pg);// 考虑是否需要扩容if (pg->vSize == pg->capacity){VertexType* tmp1 = (VertexType*)realloc(pg->vertices, sizeof(VertexType) * 2 * pg->capacity);assert(tmp1);pg->vertices = tmp1;
​EdgeType** tmp2 = (EdgeType**)realloc(pg->edges, sizeof(EdgeType*) * 2 * pg->capacity);assert(tmp2);pg->edges = tmp2;for (int i = 0; i < pg->capacity; ++i){EdgeType* tmp3 = (EdgeType*)realloc(pg->edges[i], sizeof(EdgeType) * 2 * pg->capacity);assert(tmp3);pg->edges[i] = tmp3;for (int j = pg->capacity; j < 2 * pg->capacity; ++j){pg->edges[i][j] = INT_MAX;  }}for (int i = pg->capacity; i < 2 * pg->capacity; ++i){pg->edges[i] = (EdgeType*)malloc(sizeof(EdgeType) * 2 * pg->capacity);assert(pg->edges[i]);for (int j = 0; j < 2 * pg->capacity; ++j){if (i == j)pg->edges[i][j] = 0;elsepg->edges[i][j] = INT_MAX;}}
​pg->capacity *= 2;}// 插入顶点pg->vertices[pg->vSize++] = v;
}
​
void InsertEdge(AMGraph* pg, VertexType v1, VertexType v2, EdgeType cost)
{assert(pg);int pos1 = GetVertexPos(pg, v1);int pos2 = GetVertexPos(pg, v2);if (pos1 == -1 || pos2 == -1)return;
​if (pg->edges[pos1][pos2] != INT_MAX)return;
​pg->edges[pos1][pos2] = pg->edges[pos2][pos1] = cost;++pg->eSize;
}
​
// 普里姆算法的实现
void MiniSpanTree_Prim(AMGraph* pg, VertexType u)
{assert(pg);EdgeType* lowcostArr = (EdgeType*)malloc(sizeof(EdgeType) * pg->vSize);int* adjVexPosArr = (int*)malloc(sizeof(int) * pg->vSize);assert(lowcostArr && adjVexPosArr);
​int pos = GetVertexPos(pg, u);if (pos == -1)return;for (int i = 0; i < pg->vSize; ++i){if (i != pos){lowcostArr[i] = pg->edges[pos][i];adjVexPosArr[i] = pos;}else{lowcostArr[i] = 0;  // 初始,U = {u}}}// 选择其余 pg->vSize - 1 个顶点,生成 pg->vSize - 1 条边for (int i = 0; i < pg->vSize - 1; ++i){EdgeType min = INT_MAX;int minIndex = -1;for (int j = 0; j < pg->vSize; ++j){if (lowcostArr[j] != 0 && lowcostArr[j] < min){min = lowcostArr[j];minIndex = j;}}printf("(%c, %c)\n", pg->vertices[adjVexPosArr[minIndex]], pg->vertices[minIndex]);lowcostArr[minIndex] = 0;  // 将顶点并入 U 
​for (int j = 0; j < pg->vSize; ++j){if (pg->edges[minIndex][j] < lowcostArr[j]){lowcostArr[j] = pg->edges[minIndex][j];adjVexPosArr[j] = minIndex;}}}free(lowcostArr);free(adjVexPosArr);
}

Test.c

#include "AMGraph.h"
#include <stdio.h>
​
int main()
{AMGraph g;AMGraphInit(&g);InsertVertex(&g, 'A');InsertVertex(&g, 'B');InsertVertex(&g, 'C');InsertVertex(&g, 'D');InsertVertex(&g, 'E');InsertVertex(&g, 'F');InsertEdge(&g, 'A', 'B', 6);InsertEdge(&g, 'A', 'C', 1);InsertEdge(&g, 'A', 'D', 5);InsertEdge(&g, 'B', 'C', 5);InsertEdge(&g, 'B', 'E', 3);InsertEdge(&g, 'C', 'D', 5);InsertEdge(&g, 'C', 'E', 6);InsertEdge(&g, 'C', 'F', 4);InsertEdge(&g, 'D', 'F', 2);InsertEdge(&g, 'E', 'F', 6);ShowAdjMatrix(&g);printf("\n");
​MiniSpanTree_Prim(&g, 'A');return 0;
}

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