C语言实现快速傅立叶（FFT）(一)

1. FFT理论相关知识

FFT（快速傅里叶变换）其本质就是DFT，只不过可以快速的计算出DFT结果，所以首先应该理解DFT，DFT(Discrete Fourier Transform) 离散傅里叶变换的缩写，FFT(Fast Fourier Transform)快速傅里叶变换的缩写，搞明白DFT之后，FFT就相对容易了。DFT(FFT)的作用是可以将信号从时域变换到频域，而且时域和频域都是离散的，通俗的说，可以求出一个信号由哪些正弦波叠加而成，求出的结果就是这些正弦波的幅度和相位.

1 .1 DFT

如图6-1所示，离散傅里叶变换可以将一个N点的输入信号变成两个N/2+1点的输出信号。输入信号含有已被分解的信号，而两个输出信号包含正弦波和余弦波的幅值信息。在时域x[ ]包含从0到N-l计N个样点。经过DFT变换之后，在频域产生两个信号：

其实部记作ReX[]，虚部记作ImX[ ]。DFT变换是从时域变换到频域，而DFT逆变换与此相反，是从频域变换到时域.

图6-1 实DFT变换

频域与时域描述的都是同一个信号，只是表述形式不同。如果已知其中的一个域，就能计算出另外一个域。通过给定的时域信号计算频域信号的过程就叫做分解、分析、正向DFT，或者简称为DFT。而通过给定的频域信号计算时域信号的过程就被称做合成或逆向DFT。无论分解还是合成都可以用方程式和计算机算法来描述。

时域的样点数常用变量N表示。虽然N可以是任意的正整数，但是通常选择2的k次方（k任意正整数），也就是128、256、512、1024等。这样选择的原因有以下两点：首先，数字数据存储使用二进制寻址方式，因此，2的k次方构成了一个信号的合理长度；其次，快速傅里叶变换（FFT）是计算DFT最有效的算法，它通常用N（N是2的k次方）进行运算。通常情况下，N值选在32和4096之间。在大多数的情况下，抽样序号是从0到N-1，而不是1到N。

DFT的标准算法——通过相关性计算 DFT。通过举例来说明此方法如何使用。假设我们现在要对一个64点的信号进行DFT计算，这意味着我们需要计算频域里实部的33个点和虚部的33个点。在这个例子中，我们只介绍如何计算单个样点的值，如ImX[3]，即为从0点到63点之间含有3个完整周期的正弦波的幅值。同理可求得其余的频域值。

图6-2描述了如何使用相关性来计算ImX[3]。图6-2a和图6-2b是两个时域信号。

图6-2 通过相关性计算 ImX[3]

DFT的公式：

（6-1）

利用欧拉公式展开：

（6-2）

在计算机中可以这样展开：

（6-3）

（6-4）

在python中实现的算法：

def DFT(Y,N):real = { }imag = { }ret = { }for k in range(N):real[k] = 0imag[k] = 0print(k)for n in  range(N):real[k] = real[k] + Y[n] * np.cos(2 * np.pi * k * n / N)imag[k] = imag[k] - Y[n] * np.sin(2 * np.pi * k * n / N)ret[k] = np.sqrt( real[k]**2+imag[k]**2)return ret

以上算法能够实现DFT功能了，从程序可以看出，该算法的时间复杂度是，在计算机中执行的速度太慢。所以接下来介绍比较快的算法FFT(快速傅里叶变换)。

1 .2 FFT

FFT变换首先把一个N点时域信号分解成N个时域信号，其中每个信号只包含一个点。第二步是计算出这N个时域信号相对应的N个频谱。最后，由这N个频谱合成一个频谱。如图6-3所示。FFT 分解。一个 N 点信号被分解为 N个单点信号。每一步都使用交错分解，把偶数点和奇数点分开，如图6-4所示。

图1-3 FFT算法流程图

图1-4 FFT分解案例

FFT的最后一步是将N个频谱按照时域分解时重新排列的顺序进行组合。这就是此算法相对麻烦的地方。在第一步，8个频谱（每个频谱包含1点）被合成为4频谱（每个频谱包含2点），在第二步，4个频谱（每个频谱包含2点）被合成为2频谱（每个频谱包含4点），最后一步使得FFT的输出是一个8点的频谱。如图6-5所示。图6-6 是FFT运算的最基本元素，将两个复数点转换成另外两个复数点。