刷题

309.最佳买卖股票时机含冷冻期

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题目：给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

• 输入: [1,2,3,0,2]

• 输出: 3

• 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

思路及实现

动规五部曲，分析如下：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i] [j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i] [j]。

其实本题很多同学搞的比较懵，是因为出现冷冻期之后，状态其实是比较复杂度，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。

具体可以区分出如下四个状态：

• 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）

• 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态

  • 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）

  • 状态三：今天卖出股票

• 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

j的状态为：

• 0：状态一

• 1：状态二

• 2：状态三

• 3：状态四

很多题解为什么讲的比较模糊，是因为把这四个状态合并成三个状态了，其实就是把状态二和状态四合并在一起了。

从代码上来看确实可以合并，但从逻辑上分析合并之后就很难理解了，所以我下面的讲解是按照这四个状态来的，把每一个状态分析清楚。

本题为什么要单独列出「今天卖出股票」 一个状态呢？

因为本题我们有冷冻期，而冷冻期的前一天，只能是 「今天卖出股票」状态，如果是 「不持有股票状态」那么就很模糊，因为不一定是 卖出股票的操作。

如果没有按照 代码随想录 顺序去刷的录友，可能看这里的讲解 会有点困惑，建议把代码随想录本篇之前股票内容的讲解都看一下，领会一下每天 状态的设置。

注意这里的每一个状态，例如状态一，是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票，而是说保持买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

2.确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i] [0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i] [0] = dp[i - 1] [0]

• 操作二：今天买入了，有两种情况

  • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1] [3] - prices[i]

  • 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1] [1] - prices[i]

那么dp[i] [0] = max(dp[i - 1] [0], dp[i - 1] [3] - prices[i], dp[i - 1] [1] - prices[i]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i] [1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二

• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [1], dp[i - 1] [3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i] [2] ，只有一个操作：

昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i] [2] = dp[i - 1] [0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i] [3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三）

dp[i] [3] = dp[i - 1] [2];

综上分析，递推代码如下：

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];

3.dp数组如何初始化

这里主要讨论一下第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0] [0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。

保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说 ，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。

如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1] [1] - prices[i] ，即 dp[0] [1] - prices[1]，那么大家感受一下 dp[0] [1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。

今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0] [2]初始化为0，dp[0] [3]也初始为0。

4.确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。

代码如下：

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {if (prices == null || prices.length < 2) {return 0;}int[][] dp = new int[prices.length][2];
​// bad casedp[0][0] = 0;dp[0][1] = -prices[0];dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], -prices[1]);
​for (int i = 2; i < prices.length; i++) {// dp公式dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);}
​return dp[prices.length - 1][0];}
}

714.买卖股票的最佳时机含手续费

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题目：给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

• 输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2

• 输出: 8

解释: 能够达到的最大利润:

• 在此处买入 prices[0] = 1

• 在此处卖出 prices[3] = 8

• 在此处买入 prices[4] = 4

• 在此处卖出 prices[5] = 9

• 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

• 0 < prices.length <= 50000.

• 0 < prices[i] < 50000.

• 0 <= fee < 50000.

思路及实现

相对于动态规划：122.买卖股票的最佳时机II ，本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分，所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了，主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义：

dp[i] [0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i] [1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dpi， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [0]

• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1] [1] - prices[i]

所以：dp[i] [0] = max(dp[i - 1] [0], dp[i - 1] [1] - prices[i]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp[i] [1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1] [1]

• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1] [0] + prices[i] - fee

所以：dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [1], dp[i - 1] [0] + prices[i] - fee);

本题和动态规划：122.买卖股票的最佳时机II的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。

以上分析完毕，代码如下：

/*** 卖出时支付手续费* @param prices* @param fee* @return*/
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int len = prices.length;// 0 : 持股（买入）// 1 : 不持股（售出）// dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金int[][] dp = new int[len][2];dp[0][0] = -prices[0];for (int i = 1; i < len; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i] - fee, dp[i - 1][1]);}return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
​
/*** 买入时支付手续费* @param prices* @param fee* @return*/
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int len = prices.length;// 0 : 持股（买入）// 1 : 不持股（售出）// dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金int[][] dp = new int[len][2];// 考虑买入的时候就支付手续费dp[0][0] = -prices[0] - fee;for (int i = 1; i < len; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i] - fee);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);}return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
​
// 一维数组优化
class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int[] dp = new int[2];dp[0] = -prices[0];dp[1] = 0;for (int i = 1; i <= prices.length; i++) {dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i - 1]);dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1] - fee);}return dp[1];}
}
```Java
//使用 2*2 array
class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int dp[][] = new int[2][2];int len = prices.length;//[i][0] = holding the stock//[i][1] = not holding the stockdp[0][0] = -prices[0];
​for(int i = 1; i < len; i++){dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i] - fee);}
​return dp[(len - 1) % 2][1];}
}