class083 动态规划中用观察优化枚举的技巧-下【算法】

算法讲解083【必备】动态规划中用观察优化枚举的技巧-下

在这里插入图片描述

code1 1235. 规划兼职工作

// 规划兼职工作
// 你打算利用空闲时间来做兼职工作赚些零花钱，这里有n份兼职工作
// 每份工作预计从startTime[i]开始、endTime[i]结束，报酬为profit[i]
// 返回可以获得的最大报酬
// 注意，时间上出现重叠的 2 份工作不能同时进行
// 如果你选择的工作在时间X结束，那么你可以立刻进行在时间X开始的下一份工作
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/maximum-profit-in-job-scheduling/

利用观察单调性 + 二分搜索的方式优化枚举，最优解时间复杂度O(n*logn)

dp[i]：[0…i]的最大报酬
不需要i位置的工作：dp[i-1]
需要i位置的工作：profit[i]+dp[j]：j是结束时间不超过startTime[i]的最右的

package class083;import java.util.Arrays;// 规划兼职工作
// 你打算利用空闲时间来做兼职工作赚些零花钱，这里有n份兼职工作
// 每份工作预计从startTime[i]开始、endTime[i]结束，报酬为profit[i]
// 返回可以获得的最大报酬
// 注意，时间上出现重叠的 2 份工作不能同时进行
// 如果你选择的工作在时间X结束，那么你可以立刻进行在时间X开始的下一份工作
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/maximum-profit-in-job-scheduling/
public class Code01_MaximumProfitInJobScheduling {public static int MAXN = 50001;public static int[][] jobs = new int[MAXN][3];public static int[] dp = new int[MAXN];public static int jobScheduling(int[] startTime, int[] endTime, int[] profit) {int n = startTime.length;for (int i = 0; i < n; i++) {jobs[i][0] = startTime[i];jobs[i][1] = endTime[i];jobs[i][2] = profit[i];}// 工作按照结束时间从小到大排序Arrays.sort(jobs, 0, n, (a, b) -> a[1] - b[1]);dp[0] = jobs[0][2];for (int i = 1, start; i < n; i++) {start = jobs[i][0];dp[i] = jobs[i][2];if (jobs[0][1] <= start) {dp[i] += dp[find(i - 1, start)];}dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - 1]);}return dp[n - 1];}// job[0...i]范围上，找到结束时间 <= start，最右的下标public static int find(int i, int start) {int ans = 0;int l = 0;int r = i;int m;while (l <= r) {m = (l + r) / 2;if (jobs[m][1] <= start) {ans = m;l = m + 1;} else {r = m - 1;}}return ans;}}

code2 629. K 个逆序对数组

// K个逆序对数组
// 逆序对的定义如下：
// 对于数组nums的第i个和第j个元素
// 如果满足0<=i<j<nums.length 且 nums[i]>nums[j]，则为一个逆序对
// 给你两个整数n和k，找出所有包含从1到n的数字
// 且恰好拥有k个逆序对的不同的数组的个数
// 由于答案可能很大，只需要返回对10^9+7取余的结果
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/k-inverse-pairs-array/

最优解利用观察 + 构造窗口累加和，已经进入观察并设计高效的查询结构的范畴了
只不过这个结构就仅存在于概念，并用一个int类型的变量维护而已

package class083;// K个逆序对数组
// 逆序对的定义如下：
// 对于数组nums的第i个和第j个元素
// 如果满足0<=i<j<nums.length 且 nums[i]>nums[j]，则为一个逆序对
// 给你两个整数n和k，找出所有包含从1到n的数字
// 且恰好拥有k个逆序对的不同的数组的个数
// 由于答案可能很大，只需要返回对10^9+7取余的结果
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/k-inverse-pairs-array/
public class Code02_KInversePairsArray {// 最普通的动态规划// 不优化枚举public static int kInversePairs1(int n, int k) {int mod = 1000000007;// dp[i][j] : 1、2、3...i这些数字，形成的排列一定要有j个逆序对，请问这样的排列有几种int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {dp[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= k; j++) {if (i > j) {for (int p = 0; p <= j; p++) {dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][p]) % mod;}} else {// i <= jfor (int p = j - i + 1; p <= j; p++) {dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][p]) % mod;}}}}return dp[n][k];}// 根据观察方法1优化枚举// 最优解// 其实可以进一步空间压缩// 有兴趣的同学自己试试吧public static int kInversePairs2(int n, int k) {int mod = 1000000007;int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];dp[0][0] = 1;// window : 窗口的累加和for (int i = 1, window; i <= n; i++) {dp[i][0] = 1;window = 1;for (int j = 1; j <= k; j++) {if (i > j) {window = (window + dp[i - 1][j]) % mod;} else {// i <= jwindow = ((window + dp[i - 1][j]) % mod - dp[i - 1][j - i] + mod) % mod;}dp[i][j] = window;}}return dp[n][k];}}

code3 514. 自由之路

// 自由之路
// 题目描述比较多，打开链接查看
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/freedom-trail/

优化枚举的核心是贪心策略：
下一步做枚举时，不需要枚举所有可能性，只需要枚举顺时针的最近、逆时针的最近两种可能性即可

贪心当然会有专题讲述！【必备】课程的动态规划专题结束了，就会开始贪心的专题

package class083;// 自由之路
// 题目描述比较多，打开链接查看
// 测试链接 : https://leetcode.cn/problems/freedom-trail/
public class Code03_FreedomTrail {// 为了让所有语言的同学都可以理解// 不会使用任何java语言自带的数据结构// 只使用最简单的数组结构public static int MAXN = 101;public static int MAXC = 26;public static int[] ring = new int[MAXN];public static int[] key = new int[MAXN];public static int[] size = new int[MAXC];public static int[][] where = new int[MAXC][MAXN];public static int[][] dp = new int[MAXN][MAXN];public static int n, m;public static void build(String r, String k) {for (int i = 0; i < MAXC; i++) {size[i] = 0;}n = r.length();m = k.length();for (int i = 0, v; i < n; i++) {v = r.charAt(i) - 'a';where[v][size[v]++] = i;ring[i] = v;}for (int i = 0; i < m; i++) {key[i] = k.charAt(i) - 'a';}for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {dp[i][j] = -1;}}}public static int findRotateSteps(String r, String k) {build(r, k);return f(0, 0);}// 指针当前指着轮盘i位置的字符，要搞定key[j....]所有字符，最小代价返回public static int f(int i, int j) {if (j == m) {// key长度是m// 都搞定return 0;}if (dp[i][j] != -1) {return dp[i][j];}int ans;if (ring[i] == key[j]) {// ring b//      i// key  b//      jans = 1 + f(i, j + 1);} else {// 轮盘处在i位置，ring[i] != key[j]// jump1 : 顺时针找到最近的key[j]字符在轮盘的什么位置// distance1 : 从i顺时针走向jump1有多远int jump1 = clock(i, key[j]);int distance1 = (jump1 > i ? (jump1 - i) : (n - i + jump1));// jump2 : 逆时针找到最近的key[j]字符在轮盘的什么位置// distance2 : 从i逆时针走向jump2有多远int jump2 = counterClock(i, key[j]);int distance2 = (i > jump2 ? (i - jump2) : (i + n - jump2));ans = Math.min(distance1 + f(jump1, j), distance2 + f(jump2, j));}dp[i][j] = ans;return ans;}// 从i开始，顺时针找到最近的v在轮盘的什么位置public static int clock(int i, int v) {int l = 0;// size[v] : 属于v这个字符的下标有几个int r = size[v] - 1, m;// sorted[0...size[v]-1]收集了所有的下标，并且有序int[] sorted = where[v];int find = -1;// 有序数组中，找>i尽量靠左的下标while (l <= r) {m = (l + r) / 2;if (sorted[m] > i) {find = m;r = m - 1;} else {l = m + 1;}}// 找到了就返回// 没找到，那i顺指针一定先走到最小的下标return find != -1 ? sorted[find] : sorted[0];}public static int counterClock(int i, int v) {int l = 0;int r = size[v] - 1, m;int[] sorted = where[v];int find = -1;// 有序数组中，找<i尽量靠右的下标while (l <= r) {m = (l + r) / 2;if (sorted[m] < i) {find = m;l = m + 1;} else {r = m - 1;}}// 找到了就返回// 没找到，那i逆指针一定先走到最大的下标return find != -1 ? sorted[find] : sorted[size[v] - 1];}}

code4 未排序数组中累加和小于或等于给定值的最长子数组长度

// 累加和不大于k的最长子数组
// 给定一个无序数组arr，长度为n，其中元素可能是正、负、0
// 给定一个整数k，求arr所有的子数组中累加和不大于k的最长子数组长度
// 要求时间复杂度为O(n)
// 测试链接 : https://www.nowcoder.com/practice/3473e545d6924077a4f7cbc850408ade
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的code，提交时请把类名改成"Main"，可以直接通过

强烈推荐先看一下讲解046

利用构造单调数组 + 二分搜索的解不是最优解，时间复杂度O(n*logn)

最优解中包含的贪心思想（窗口的加速建立、可能性的淘汰），是这个题的重点，时间复杂度O(n)

贪心当然会有专题讲述！【必备】课程的动态规划专题结束了，就会开始贪心的专题

package class083;// 累加和不大于k的最长子数组
// 给定一个无序数组arr，长度为n，其中元素可能是正、负、0
// 给定一个整数k，求arr所有的子数组中累加和不大于k的最长子数组长度
// 要求时间复杂度为O(n)
// 测试链接 : https://www.nowcoder.com/practice/3473e545d6924077a4f7cbc850408ade
// 请同学们务必参考如下代码中关于输入、输出的处理
// 这是输入输出处理效率很高的写法
// 提交以下的code，提交时请把类名改成"Main"，可以直接通过import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;// 至今的最优解，全网题解几乎都是我几年前讲的方法
public class Code04_LongestSubarraySumNoMoreK {public static int MAXN = 100001;public static int[] nums = new int[MAXN];public static int[] minSums = new int[MAXN];public static int[] minSumEnds = new int[MAXN];public static int n, k;public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {n = (int) in.nval;in.nextToken();k = (int) in.nval;for (int i = 0; i < n; i++) {in.nextToken();nums[i] = (int) in.nval;}out.println(compute2());}out.flush();out.close();br.close();}public static int compute1() {int[] sums = new int[n + 1];for (int i = 0, sum = 0; i < n; i++) {// sum : 0...i范围上，这前i+1个数字的累加和sum += nums[i];// sums[i + 1] : 前i+1个，包括一个数字也没有的时候，所有前缀和中的最大值sums[i + 1] = Math.max(sum, sums[i]);}int ans = 0;for (int i = 0, sum = 0, pre, len; i < n; i++) {sum += nums[i];pre = find(sums, sum - k);len = pre == -1 ? 0 : i - pre + 1;ans = Math.max(ans, len);}return ans;}public static int find(int[] sums, int num) {int l = 0;int r = n;int m = 0;int ans = -1;while (l <= r) {m = (l + r) / 2;if (sums[m] >= num) {ans = m;r = m - 1;} else {l = m + 1;}}return ans;}public static int compute2() {minSums[n - 1] = nums[n - 1];minSumEnds[n - 1] = n - 1;for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {if (minSums[i + 1] < 0) {minSums[i] = nums[i] + minSums[i + 1];minSumEnds[i] = minSumEnds[i + 1];} else {minSums[i] = nums[i];minSumEnds[i] = i;}}int ans = 0;for (int i = 0, sum = 0, end = 0; i < n; i++) {while (end < n && sum + minSums[end] <= k) {sum += minSums[end];end = minSumEnds[end] + 1;}if (end > i) {// 如果end > i，// 窗口范围：i...end-1，那么窗口有效ans = Math.max(ans, end - i);sum -= nums[i];} else {// 如果end == i，那么说明窗口根本没扩出来，代表窗口无效// end来到i+1位置，然后i++了// 继续以新的i位置做开头去扩窗口end = i + 1;}}return ans;}}