置信区间是统计学中的一个重要工具,是用样本参数()估计出来的总体均值在某置信水平下的范围。通俗一点讲,如果置信度为95%(等价于显著水平a=0.05),置信区间为[a,b],这就意味着总体均值落入该区间的概率为95%,或者以95%的可信程度相信总体均值在这个范围内。
一般情况下当我们抽样的数量大于等于30时,可认为样本均值服从正态分布,以此我们通过查标准正态分布表,获得显著水平a下的z值,用以下公式即可获得置信区间。
如果样本数量小于30,我们可以根据中心极限定理,进行多轮抽样产生均值样本,计算置信区间。如下例所示。
工厂要确定95%置信水平下的产品成份含量的置信区间,但手里只有20个样本数据,如何来估计总体的成分含量呢?
我们可以对这20个样本数据进行30轮重复采样,每次随机采样10件产品,记录其均值。这样会得到由30个均值构成的样本。根据中心极限定理,这个样本服从正态分布,于是我们就可以用这个均值样本来估计总体的成分含量置信区间了。
示例代码如下:
#初始化样本
X=np.array([91,94,91,94,97,83,91,95,94,96,97,95,90,91,95,91,88,85,89,93])#样本排序,为了适应下面的随机抽样函数
X=sorted(X)#使用random模块的随机抽样函数sample,进行抽样。该函数有两个参数,第一个是样本集合,第二个是抽取数量
import random#进行30轮随机抽样同时计算均值,形成新的正态分布的样本
n=30
X_new=[np.mean(random.sample(X, 10)) for i in range(n)]#计算样本均值和标准差
mu,std=np.mean(X_new),np.std(X_new)#求置信区间
[mu-std/np.sqrt(n)*1.96,mu+std/np.sqrt(n)*1.96]
最终估计的总体均值置信区间为[91.69, 92.18]。
中心极限定理:无论样本所属总体服务什么分布,对该样本进行n次随机采样,产生n个新的样本,那么这n个样本的n个均值所在总体服务正态分布。而且n越大,越接近正态分布。如下例
这是0到9,10个数构成的样本,其分布图如下所示,是一个均匀分布。
然后我们进行20轮重复采样,每次采集2个数字,形成的均值样本分布如下图所示, 正态分布还不明显
进行50轮重复采样,形成的均值样本分布如下图所示, 正态分布开始显现
进行1000轮重复采样,形成的均值样本分布如下图所示, 基本呈正态分布