1 基础知识

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2 模板

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3 工程化

题目1：货币系统。

解题思路：完全背包模型求方案数。

状态定义f[i][j]：从前i个物品中选体积恰好为j的方案数。
状态转移f[i][j]，以下情况的累加和，

1. 不选择第i个物品，即f[i-1][j]。
2. 选择第i个物品1次，即f[i-1][j-v[i]]。
3. 选择第i个物品2次，即f[i-1][j-2*v[i]]。
4. ……
5. 选择第i个物品max次，即f[i-1][j-max*v[i]]。

状态转移可以简化成，

状态转移f[i][j]，以下情况的累加和，

1. 不选择第i个物品，即f[i-1][j]。
2. 选择第i个物品1次~max次的累加和，为f[i][j-v[i]]。

初始化，f[0][0] = 1。

最终答案为f[n][m]。

同样的，也可以将状态降维，C++代码如下，

#include <iostream>using namespace std;const int M = 3010;
int n, m;
long long f[M];int main() {cin >> n >> m;f[0] = 1;for (int i = 0; i < n; ++i) {int x;cin >> x;for (int j = x; j <= m; ++j) {f[j] += f[j-x];}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

题目2：货币系统，求最简的面值表示。

解题思路：完全背包求方案数的应用。

C++代码如下，

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 110, M = 25010;
int n, m;
int v[N];
int f[M];int main() {int T;cin >> T;while (T--) {cin >> n;for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> v[i];sort(v, v + n);int res = 0;m = v[n - 1];memset(f, 0, sizeof f);f[0] = 1;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (f[v[i]] == 0) res += 1;for (int j = v[i]; j <= m; ++j) {f[j] += f[j - v[i]];}}cout << res << endl;}return 0;
}

题目3：混合背包问题。

解题思路：完全背包归为一类，体积从小到大枚举；01背包和多重背包归为一类，体积从大到小枚举。

C++代码如下，

#include <iostream>using namespace std;const int M = 1010; 
int n, m;
int f[M];int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; ++i) {int v, w, s;cin >> v >> w >> s;if (s == 0) {//完全背包问题for (int j = v; j <= m; ++j) {f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}} else {if (s == -1) s = 1;for (int k = 1; k <= s; k <<= 1) {for (int j = m; j >= k * v; --j) {f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);}s -= k;}if (s) {for (int j = m; j >= s * v; --j) {f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);}}}}cout << f[m] << endl;return 0;
}