冒泡排序
冒泡排序是一种 稳定 的排序算法。
它的工作原理是每次检查相邻两个元素,如果前面的元素与后面的元素满足给定的排序条件,就将相邻两个元素交换。当没有相邻的元素需要交换时,排序就完成了。
假设我们想要从小到大进行排序:
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第一次冒泡:将最大值放到了数组的最后一位;
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第二次冒泡:将第二大值放在数组的倒数第二位;
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以此类推。
void BubbleSort(int arr[], int num)
{// 需要 num-1 次冒泡for (int i = 0; i < num - 1; ++i){for (int j = 0; j < num - i - 1; ++j){if (arr[j] > arr[j + 1]) swap(arr[j], arr[j + 1]);}}
}
复杂度分析:
当序列完全有序时,冒泡排序只需遍历一遍数组,不用执行任何交换操作,时间复杂度为 $ O(N)$;
在最坏情况下,冒泡排序要执行 ( n − 1 ) ⋅ n / 2 (n-1)·n/2 (n−1)⋅n/2次交换操作,时间复杂度为 O ( N 2 ) O(N^{2}) O(N2);
冒泡排序的平均时间复杂度为 O ( N 2 ) O(N^{2}) O(N2)。
选择排序
每次选择一个最大/最小的数,与当前位置的数进行交换。
由于 swap(交换两个元素)操作的存在,可能打乱相等数的相对顺序,因此选择排序是一种 不稳定 的排序算法。
void SelectionSort(int arr[], int num)
{// 需要 num-1 次选择for (int i = 0; i < num - 1; ++i){int mini = i;for (int j = i; j < num; ++j){if (arr[j] < arr[mini]) mini = j;}swap(arr[i], arr[mini]);}
}
复杂度分析:
最优时间复杂度、平均时间复杂度和最坏时间复杂度均为 O ( N 2 ) O(N^{2}) O(N2)。
插入排序
插入排序是一种 稳定 的排序算法。
插入排序的思想:将当前元素与已经排好序的子数组中的元素逐个比较,找到合适的位置插入当前元素。
void InsertionSort(int arr[], int num)
{// 从下标 1 开始for (int i = 1; i < num; ++i){int cur = arr[i];int index = i;// 将大于 cur 的元素向右移动while (index - 1 >= 0 && arr[index - 1] > cur){arr[index] = arr[index - 1];index--;}// 将 cur 插入到正确的位置arr[index] = cur;}
}
复杂度分析:
最优时间复杂度为 $ O(N)$,最坏时间复杂度和平均时间复杂度都为 O ( N 2 ) O(N^{2}) O(N2)。
希尔排序(**)
希尔排序是一种改进版的插入排序,其基本思路如下:
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选择增量: 选择一个增量,来决定元素之间的间隔,通常增量选择数组总长度的一半;
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分组排序: 根据选定的增量,将数组元素分成若干组;对于每一组,使用插入排序的方法进行排序;
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逐步缩小增量: 逐步减小增量并重复上述分组和排序步骤,直至增量为 1。
当增量减小至 1 时,相当于进行一次普通的插入排序,此时数组已经被排好序了。
因为希尔排序进行了分组,可能打乱相等数的相对位置,希尔排序是一种 不稳定 的排序算法。
void ShellSort(int arr[], int num)
{// 选择增量int dist = num / 2;while (dist){for (int i = dist; i < num; ++i){int cur = arr[i];int index = i;while (index - dist >= 0 && arr[index - dist] > cur){arr[index] = arr[index - dist];index -= dist;}arr[index] = cur;}dist /= 2; }
}
复杂度分析:
通常情况下,希尔排序的时间复杂度介于 O ( n log 2 n ) O(n \log^2 n) O(nlog2n) 和 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 之间。