《深入浅出进阶篇》洛谷P3197 越狱——集合

 洛谷P3197 越狱

题目大意:

监狱有 n 个房间,每个房间关押一个犯人,有 m 种宗教,每个犯人会信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同,就可能发生越狱,求有多少种状态可能发生越狱。

答案对100,003 取模。

对于 100% 的数据,保证1≤m≤10^8,1≤n≤10^12。

 学啥用啥!!!

要求有多少种状态可能发生越狱,我们可以求所有的安排牢房的状态 ,也就是全集。

 然后再算出所有的不会越狱的状态,也就是集合A。

用全集减去集合A,得到补集,这就是答案。

全集如何求?   

由乘法原理可知,每个牢房都可以安排m种宗教,也就是有m种选择,一共有n个牢房,那么全集就是:m^{n}

接下来我们要求,所有不会越狱的状况,集合A。

也就是要使得每个相邻的房间宗教不同。

第一个房间的选择有m种,第二个房间的选择只要满足不和前面的房间相同即可,m-1种

第三个房间只要满足与第二个房间不同,也就是m-1种。

这样下来,每个房间都与自己前一个房间的宗教不同,从而使得每个相邻的房间宗教不同。

答案就是  m \cdot (m-1)^{n-1}

所以最终答案就是      m^{n}-m \cdot (m-1)^{n-1}  mod ( 100003 )

用快速幂即可

(千万记住先输入m再输入n,我被这个卡了好久!!!!)

然后别忘了特判   

m^{n}-m \cdot (m-1)^{n-1} 快速幂之和可能会小于0,再加上100003即可

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#include<string>
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using namespace std;
const long long MOD = 100003;
typedef long long ll;
ll qpow(ll m, ll n) {ll s = 1;while (n) {if (n & 1)s = s * m % MOD;m = m * m % MOD;n >>= 1;}return s;
}
ll n, m,ans,cns,bns;int main() {cin >> m >> n;ans = qpow(m, n);bns = (m * qpow(m - 1, n - 1))%MOD;cns = (ans - bns)%MOD;if (cns < 0)cns += MOD;cout << cns;
}

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