本讲为考前复习课，考试范围就是 Ax=b 这个单元，重点是长方形矩阵，与此相关的概念包括零空间、左零空间、秩、向量空间、子空间，特别是四个基本子空间。当矩阵为可逆的方阵时，很多性质是一目了然的，但是对于长方形矩阵则需要多加注意。

问题一

向量 u，v 和 w 是 R7空间中的非零向量。它们张成了 R7空间中的一个子空间，那么这个子空间的维数可能是多少？
解答：1，2 或者 3。空间的基的个数不超过 3 个，所以其维数也不会超过 3。因为是非零向量，所以不能是 0。

问题二

给定矩阵 U 为 5 X 3 阶梯型矩阵，其秩 r=3。
1.求 U 的零空间 N(U)
解答：因为列数为 3 且秩为 3，其列向量线性无关，则 Ux=0 只有零解，所以其零空间

5.C 的秩？
解答：6，B 的秩为 3。
6.求 C 左零空间的维数 dim N($C^T$)?
解答：m=10 而 r=6，所以 dim N($C^T$)=4。

问题三

1.矩阵 A 的形状？
解答：矩阵 A 为 3 X 3 矩阵，因为 x 的分量数即为 A 的列数，而 b 的分量数为A 的行数。
2.矩阵 A 的行空间的维数？
解答：从通解的形式可以看出 A 零空间的维数为 2，则其行空间的维数为 3-2=1。

本题中矩阵的秩为 1，因此零空间很大。请注意系数矩阵满秩的情况，我们曾经花了不少时间进行讨论。
小问题
1.A 是方阵，零空间只有零向量 0，AT的零空间？
解答：AT的零空间也只有零向量。
2.所有的 5 X 5 可逆矩阵，是否构成 5 X 5 矩阵空间的子空间？
解答：不行，不包含零矩阵 0，不是子空间。顺便说一下奇异阵也不是一个子空间。

4.判断：方程组 Ax=b 具有 n 个方程 n 个未知数，若矩阵 A 的列向量线性无关，则b 取任意向量，方程均有解。
解答：是，A 为可逆矩阵，所以 x=$A^{-1}$b 是唯一解。

问题四

1.给出矩阵 B 零空间的一组基？
解答：因为矩阵 C 为可逆矩阵，因此矩阵 B 零空间与矩阵 D 的零空间相同。


小问题
1.判断：A 为方阵，则它的行空间和列空间相同？
解答：否，只是空间的维数相等，但空间不一定相同。反例
$$B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$$

2.判断：矩阵 A 和-A 的四个子空间相同？
解答：是，相同。
3.判断：如果 A 和 B 的四个子空间相同，则 A 一定是 B 的倍数？
解答：错误，A 和 B 的可以为同阶可逆方阵。
4.如果我们对矩阵 A 中的两行做行交换，四个子空间中不变的是哪些？
解答：是行空间和零空间。