七、网络计划

网络图中的第一个事项称为起始事项，它只表示整个任务的开始；而最后一个事项称为终止事项，它只表示整个任务的结束；介于起始事项和终止事项之间的所有事项都称为中间事项，它既表示前项工作的结束，又表示后项工作的开始。

所有各条线路的长度中，可以找到一条所需工时最长的路，这条最长的线路在网络图中称为关键线路。

每道工作的期望工时可估计为 $$t(i,j)=\frac{a+4m+b}{6}$$ 其中，$a$ 为最乐观时间，$b$ 为最悲观时间，$m$ 为最可能完成时间。

事项有三个参数：最早开始、最迟结束、时差。

工作的时间参数有：最早开始、最早结束、最迟开始、最迟结束、总时差和单时差。

总时差给出了可供利用的最多机动时间，为工作最晚结束时间减去最早结束时间。总时差为 0 的工作称为关键工作，连接所有关键工作的线路即为关键线路。

工作的单时差为紧前工作最晚结束，紧后工作最早开始时具有的机动时间。关键工作的单时差一定为 0 ，但单时差为 0 的工作不一定为关键工作。

工作的总时差等于它的箭尾事项和箭头事项的时差之和，加上本身的单时差。

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八、排队论

3 个基本部分：输入过程、排队规则、服务机构。

最主要、影响最大的三个因素：1. 顾客相继到达的间隔时间的分布；2. 服务时间的分布；3. 服务台个数。

Kendall 记号：$X/Y/Z/A/B/C$ ，前三个分别为最主要三个因素，后三个分别是系统容量限制 $N$ ，顾客源数目 $m$ 以及服务规则。

$M/M/1/\infty /\infty$ 的状态概率的方程：$$\{\begin{array}{l}\lambda P_0=\mu P_1,\\ \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_n,n\ge 1.\end{array}$$ 要求服务强度 $\rho <1$ ，可推得：$P_0=1-\rho ,P_n={\rho }^n{P}_0$ 。各指标公式为：$$L_s=\frac{\lambda }{\mu -\lambda },L_q=L_s-\frac{\lambda }{\mu };W_s=\frac{L_s}{\lambda },W_q=W_s-\frac{1}{\mu }.$$

在 $M/M/1$ 情况下，顾客在系统中逗留的时间服从参数为 $\mu -\lambda$ 的指数分布，因此期望为 $1/(\mu -\lambda )$ 。

Little 公式有四个，为 $$L_s=\lambda W_s,L_q=\lambda W_q;W_s=W_q+\frac{1}{\mu },L_s=L_q+\frac{\lambda }{\mu }.$$ 对于有容量限制的 $M/M/1/N/\infty$ ，其状态概率的稳态方程，比 $M/M/1/\infty /\infty$ 多一个在系统中有 $N$ 个顾客时的方程。此时系统只会中不会再有顾客进入，于是在 $n=N$ 处只有：$\lambda P_{N-1}=\mu P_N$ ，即 $$\{\begin{array}{l}\lambda P_0=\mu P_1,\\ \lambda P_{n-1}+\mu P_{n+1}=(\lambda +\mu )P_n,n\le N-1,\\ \lambda P_{N-1}=\mu P_N.\end{array}$$ 此时有 $P_0+P_1+\cdots +P_N=1$ ，可以解得 $$P_0=\frac{1-\rho }{1-{\rho }^{N+1}}$$ 各个状态之间仍然是满足 $P_n={\rho }^n{P}_0$ 。队长指标为 $$L_s=\frac{\rho }{1-\rho }-\frac{(N+1){\rho }^{N+1}}{1-{\rho }^{N+1}},L_q=L_s-(1-P_0)$$ 当考虑等待时间，到达率应变为有效到达率 ${\lambda }_e$ ，其值为 $(1-P_N)\lambda$ ，可推出其另一个表达式为 ${\lambda }_e=\mu (1-P_0)$ 。Little 公式仍然适用，即 $W_s=L_s/{\lambda }_e,W_q=W_s-1/\mu$ 。

对于顾客源为有限 $(M/M/1/\infty /m)$的情形，最常见的是机器因故障待修的问题。特别的是它每个顾客经过服务后仍回到原来总体，所以它每个状态的到达转移都不相同。状态 0 到状态 1 的转移率为 $m\lambda$ ，状态 1 到状态 2 的转移率为 $(m-1)\lambda$ ，状态 $m-1$ 到状态 $m$ 的转移率为 $\lambda$ 。而且，由于顾客总体为 $m$ ，实际上容量最大也不会超过 $m$ ，因此这和 $(M/M/1/m/m)$ 的意义相同。

对于标准的多服务台 $(M/M/c/\infty /\infty )$ ，整个系统的平均服务率（平均利用率）为 $\lambda /(c\mu )$ ，需保证其小于 1 。由于其有多个服务台，因此每个状态的离去转移也不同，状态 1 到状态 0 的转移率为 $\mu$ ，状态 2 到状态 1 的转移率为 $2\mu$，状态 $n(n<c)$ 到状态 $n-1$ 的转移率为 $n\mu$ 。当 $n\ge c$ 时，后面的状态转移率一直为 $c\mu$ 。

对于一般服务时间 $M/G/1$ 模型，是指顾客到达间隔服从负指数分布，但服务时间服从任意分布的情形。下面的关系都是成立的：$$\begin{gathered} E(系统中顾客数)=E(队列中顾客数)+E(服务机构顾客数) \\ E(系统中逗留时间)=E(排队时间)+E(服务时间) \end{gathered}$$ 当服务时间服从负指数分布时，$E(服务时间)=1/\mu ,E(服务机构顾客数)=\lambda E(T)=\rho$ 。

P-K 公式（$\rho =\lambda E(T)$）：$$L_s=\rho +\frac{{\rho }^2+{\lambda }^{2}D(T)}{2(1-\rho )}$$ 只要知道 $\lambda ,E(T),D(T)$ ，不管什么分布，就可以求出 $L_s$ ，进而求出 $L_q=L_s-\lambda E(T),W_s=L_s/\lambda ,W_q=L_q/\lambda$ 。