最小生成树算法与二分图算法

文章目录



概述

概述


P r i m Prim Prim 算法 - 稠密图 - O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

思路概述

D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra 算法很相近,都是每个点轮一遍然后贪心找最小值,同样, P r i m Prim Prim 也可以用堆优化,但是不如 K r u s k a l Kruskal Kruskal 算法,所以不用。

  • 用到三个数组:g[][]邻接矩阵存边,st[]用于标记那些节点在生成树中,dist[]存储每个节点到生成树的最小距离。
  • 首先,初始化每个点到生成树的距离,在一开始,除了根节点是 0 0 0,其他都是 I N F INF INF;
  • 然后每个点轮一遍(因为生成树要每个点都在)
    • 再次遍历,寻找到生成树最小的边连接的点,如果遍历完了发现最小值是 I N F INF INF,说明这个图不联通,没有最小生成树。
    • 将这个点更新到生成树里去,累计生成树的边长,然后用这个点的值再更新一遍dist[]数组。

时间复杂度分析

外层循环 n n n 次,内层是 2 n 2n 2n 次,所以是 O ( n ⋅ 2 n ) O(n·2n) O(n2n),也就是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)


AcWing 858. Prim算法求最小生成树

题目链接:https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/924/。

最小生成树

CODE
#include <iostream>  // 引入输入输出流库
#include <cstring>   // 引入字符串处理库
#include <algorithm> // 引入算法库using namespace std; // 使用标准命名空间const int N = 520, INF = 0x3f3f3f3f; // 定义常量N和INF
int g[N][N]; // 定义邻接矩阵g
int dist[N]; // 定义距离数组dist
bool st[N];  // 定义状态数组st
int n, m;    // 定义顶点数n和边数mint prim(){  	// 定义prim算法函数memset(dist, 0x3f, sizeof dist); 	// 初始化dist数组dist[1] = 0; 	// 将起点的距离设为0int res = 0; 	// 初始化结果resfor(int i = 0; i < n; ++i){ 	// 遍历所有顶点int t = -1; 	// 初始化tfor(int j = 1; j <= n; ++j) 	// 遍历所有顶点if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) // 找到未被访问且距离最小的顶点t = j;if(dist[t] == INF) return INF; 	// 如果找不到顶点,返回INFres += dist[t]; 	// 更新结果st[t] = true; 		// 标记顶点t已被访问for(int j = 1; j <= n; ++j) dist[j] = min(dist[j], g[j][t]); 	// 更新距离}return res; 	// 返回结果
}int main() 		// 主函数
{memset(g, 0x3f, sizeof g); 	// 初始化邻接矩阵gcin >> n >> m; 		// 输入顶点数和边数while (m -- ){ 		// 遍历所有边int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); 	// 输入边的两个顶点和权值g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); // 更新邻接矩阵}int t = prim(); 	// 调用prim算法if(t == INF) puts("impossible"); 	// 如果返回INF,输出"impossible"else printf("%d\n", t); 			// 否则输出结果
}


K r u s k a l Kruskal Kruskal 算法 - 稀疏图 - O ( m l o g m ) O(mlogm) O(mlogm)

思路解析

  • 首先,将所有边按权值排序,这一步是 K r u s k a l Kruskal Kruskal 的瓶颈,复杂度是 O ( m ⋅ l o g m ) O(m·logm) O(mlogm)
  • 接着初始化并查集,再把排序好的边轮一遍。
    • 如果边的两个点的根节点不是同一个(两个节点没有全在树中),那就将两个点连起来,然后节点数和权重累积。
  • 最后判断,如果生成树的边不是 n − 1 n - 1 n1 条的话,说明图不联通,没有最小生成树。

时间复杂度分析

由上知排序瓶颈复杂度,然后是后面遍历每一条边的复杂度 O ( m ) O(m) O(m),最后累计就是 O ( m l o g m ) O(mlogm) O(mlogm)
但是由于排序的常数很小,所以实际运行时间比公式算出来要少的多。


AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树

题目链接:https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/925/

kruskal

CODE
#include <iostream>  // 引入输入输出流库
#include <cstring>   // 引入字符串处理库
#include <algorithm> // 引入算法库using namespace std; // 使用标准命名空间const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f; 	// 定义常量N、M和INF
int n, m; 	// 定义顶点数n和边数m
int p[N]; 	// 定义并查集数组pstruct edge{ 	// 定义边的结构体int a, b, w;
}edges[M];int find(int x){ 	// 定义并查集的查找函数if(x != p[x]) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}bool cmp(edge a, edge b){ 	// 定义比较函数,用于排序return a.w < b.w;
}int kruskal(){ // 定义kruskal算法函数sort(edges, edges + m, cmp); 	// 对所有边按权值进行排序for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i; 	// 初始化并查集int res = 0, cnt = 0; 	// 初始化结果res和计数器cntfor(int i = 0; i < m; ++i){ 	// 遍历所有边int a = find(edges[i].a), b = find(edges[i].b), w = edges[i].w; // 找到边的两个顶点的根节点和权值if(a != b){ 	// 如果两个顶点不在同一个集合中p[a] = b; 	// 合并两个集合cnt++; 		// 计数器加1res += w; 	// 更新结果}}if(cnt < n - 1) return INF; 	// 如果生成树的边数小于n-1,返回INFelse return res; 	// 否则返回结果
}int main() // 主函数
{cin >> n >> m; 	// 输入顶点数和边数for(int i = 0; i < m; ++i){ 	// 遍历所有边int a, b, w;scanf("%d%d%d", &a, &b, &w); 	// 输入边的两个顶点和权值edges[i] = {a, b, w}; 	// 存储边}int t = kruskal(); 	// 调用kruskal算法if(t == INF) puts("impossible"); 	// 如果返回INF,输出"impossible"else printf("%d\n", t); 	// 否则输出结果
}


染色法判定二分图 - O ( m + n ) O(m + n) O(m+n)

何为二分图?

  • 二分图即指一张图的所有节点可以用两种颜色涂上,且相邻节点必是不同颜色。
  • 对应到集合的映射关系上就是,可以通过移动把节点分为两个集合,左集合只能连右集合,右集合只连左集合。
    对应映射

二分图满足什么条件?

二分图不能出现奇数环

  • 充分性:有奇数环就一定不是二分图。
    • 若存在奇数环,那么从某一点开始分配颜色,分配到最后开始节点又会被分配到另一种颜色,冲突了,所以得证充分性。
  • 必要性:没有奇数环就一定是二分图。
    • 没有了奇数环,那么每个点都会被分配到有且仅有的那一种颜色,必要性得证。
      • 反证法,如果没有奇数环,还有颜色分配冲突,那么说明存在一个偶数环,使得环上的两个相邻节点被分配了相同的颜色。然而,这与我们的颜色分配策略(即相邻节点分配不同颜色)是矛盾的。
  • 因此,如果一个图没有奇数环,那么它一定可以被成功地二分,即它是一个二分图。

思路介绍

当我们用染色法判断二分图时,大概分为以下几步:

  • 遍历所有未被染色的点,将其染色,并对它连接的点染上不同颜色。
    • 如果发现这个点之前染过色,这次染的色跟上次的不同,说明存在奇数环,非二分图。

AcWing 860. 染色法判定二分图

题目链接:https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/926/

二分图

CODE
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 + 10;
int n, m;
int e[M], ne[M], h[N], idx;
int color[N];void add(int a, int b){e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;  // 添加边
}bool dfs(int u, int c){color[u] = c;  // 给节点u着色for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(!color[j]){  // 如果节点j未着色if(!dfs(j, 3 - c)) return false;  // 递归着色,如果失败则返回false}else if(color[j] == c) return false;  // 如果节点j的颜色与节点u相同,返回false}return true;  // 所有节点都成功着色,返回true
}int main()
{memset(h, -1, sizeof h);  // 初始化邻接表cin >> n >> m;  // 读入节点数和边数while (m -- ){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);  // 读入边的两个节点add(a, b), add(b, a);  // 添加边}bool flag = true;for(int i = 1; i <= n; ++i){  // 遍历所有节点if(!color[i]){  // 如果节点i未着色if(!dfs(i, 1)){  // 尝试从节点i开始着色,如果失败则设置flag为false并跳出循环flag = false;break;}}}if(flag) puts("Yes");  // 如果所有节点都成功着色,输出"Yes"else puts("No");  // 否则输出"No"return 0;
}

匈牙利算法 - 二分图的最大匹配 - O ( m n ) O(mn) O(mn)

具体思路解析

  • 跟找对象一样,将所有男生集合遍历一遍,每个男生遍历一遍心动对象,找一个没对象的牵手。
    • 如果某一个男生的心动对象已经跟别的男生牵手了,那这个男生就会问上个男生:能不能换一个?于是上一个男生就开始从其他心动对象里面找:
      • 如果找到了,皆大欢喜,上一个男的换对象,这个男的跟心动女生牵手;
      • 没找到,那么后面这个男生继续在其他心动对象里面找一个能牵手的。

时间复杂度分析

先遍历一个集合里的所有点,再遍历点对应的所有边,所以是: O ( m n ) O(mn) O(mn)但是一般来说,常数很小,所以实际耗时比公式算出来的要小很多。


AcWing 861. 二分图的最大匹配

题目链接:https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/927/

匈牙利

CODE
#include<cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 520, M = 1e5 + 10;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int n1, n2, m;
int match[N];  // 记录匹配情况
bool st[N];  // 记录节点是否已被搜索过void add(int a, int b){e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;  // 添加边
}bool find(int x){for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(!st[j]){  // 如果节点j未被搜索过st[j] = true;if(match[j] == 0 || find(match[j])){  // 如果节点j未被匹配或者节点j的匹配可以被改变match[j] = x;  // 更新匹配情况return true;}}}return false;  // 找不到可增广的路径
}int main()
{memset(h, -1, sizeof h);  // 初始化邻接表cin >> n1 >> n2 >> m;  // 读入节点数和边数while (m -- ){int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);  // 读入边的两个节点add(a, b);  // 添加边}int res = 0;for(int i = 1; i <= n1; ++i){  // 遍历所有节点memset(st, false, sizeof st);  // 初始化搜索记录if(find(i)) res++;  // 如果找到可增广的路径,结果加一}printf("%d\n", res);  // 输出最大匹配数return 0;
}

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/203729.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

探索HarmonyOS_开发软件安装

随着华为推出HarmonyOS NEXT 宣布将要全面启用鸿蒙原声应用&#xff0c;不在兼容安卓应用&#xff0c; 现在开始探索鸿蒙原生应用的开发。 HarmonyOS应用开发官网 - 华为HarmonyOS打造全场景新服务 鸿蒙官网 开发软件肯定要从这里下载 第一个为微软系统(windows)&#xff0c;第…

逆向修改Unity的安卓包资源并重新打包

在上一篇文章中,我已经讲过如何逆向获取unity打包出来的源代码和资源了,那么这一节我将介绍如何将解密出来的源代码进行修改并重新压缩到apk中。 其实在很多时候,我们不仅仅想要看Unity的源码,我们还要对他们的客户端源码进行修改和调整,比如替换资源,替换服务器连接地址…

【C/C++】函数参数默认值

创作不易&#xff0c;本篇文章如果帮助到了你&#xff0c;还请点赞 关注支持一下♡>&#x16966;<)!! 主页专栏有更多知识&#xff0c;如有疑问欢迎大家指正讨论&#xff0c;共同进步&#xff01; &#x1f525;c系列专栏&#xff1a;C/C零基础到精通 &#x1f525; 给大…

深度学习实战64-黑白照片着色的模型应用,快速部署实现黑白图片快速上色的功能

大家好,我是微学AI,今天给大家介绍一下深度学习实战64-黑白照片着色的模型应用,快速部署实现黑白图片快速上色的功能。图片上色是一个具有多模态不确定性和高度不适定性的挑战性问题。直接训练深度神经网络通常会导致错误的语义颜色和低色彩丰富度。虽然基于Transformer的方…

人工智能AIGC培训讲师叶梓介绍及AI强化学习培训提纲

叶梓&#xff0c;上海交通大学计算机专业博士毕业&#xff0c;高级工程师。主研方向&#xff1a;数据挖掘、机器学习、人工智能。历任国内知名上市IT企业的AI技术总监、资深技术专家&#xff0c;市级行业大数据平台技术负责人。个人主页&#xff1a;大数据人工智能AI培训讲师叶…

9大高效的前端测试工具与框架!

在每个Web应用程序中&#xff0c;作为用户直接可见的应用程序外观&#xff0c;“前端”包括&#xff1a;图形化的用户界面、相应的功能、及其整体站点的可用性。我们可以毫不夸张地说&#xff1a;如果前端无法正常工作&#xff0c;您将无法“拉新”网站的潜在用户。这也正是我们…

MySQL:update set的坑

目录 一、问题描述 二、为何会出现这样的问题&#xff1f; 三、正确的方案 一、问题描述 我在修改mysql数据表时&#xff0c;看到下面的现象。 我表中原始数据如下&#xff1a; 执行了下面的修改&#xff0c;显示执行成功。 update user_function_record_entity set open_…

MySQL_1. mysql数据库介绍

shell脚本差不多快完结了接下来会为大家更新MySQL系列的相关的基础知识笔记&#xff0c;希望对大家有所帮助&#xff0c;好废话不多说&#xff0c;接下来开始正题&#xff01; 1.mysql数据库介绍 mysql 是一款安全、跨平台、高效的&#xff0c;并与 PHP、Java 等主流编程语言…

AI写作工具有哪些?原创我AI写作工具推荐

人工智能&#xff08;AI&#xff09;的广泛应用不仅改变了我们的工作方式&#xff0c;也对文学创作领域产生了深远的影响。其中&#xff0c;AI写作技术在提高工作效率和文章创作方面发挥着越来越重要的角色。然而&#xff0c;伴随着这一技术的兴起&#xff0c;一个备受关注的问…

机器学习实验五:集成学习

系列文章目录 机器学习实验一&#xff1a;线性回归机器学习实验二&#xff1a;决策树模型机器学习实验三&#xff1a;支持向量机模型机器学习实验四&#xff1a;贝叶斯分类器机器学习实验五&#xff1a;集成学习机器学习实验六&#xff1a;聚类 文章目录 系列文章目录一、实验…

docker基本管理和相关概念

1、docker是什么&#xff1f; docker是开源的应用容器引擎。基于go语言开发的&#xff0c;运行在Linux系统当中开源轻量级的“虚拟机”。 docker可以在一台主机上轻松的为任何应用创建一个轻量级的&#xff0c;可移植的&#xff0c;自给自足的容器。docker的宿主机是Linux系统…

【PID学习笔记 7 】控制系统的性能指标之三

写在前面 控制系统性能指标有单项指标和综合指标两类&#xff0c;上文重点介绍了单项指标&#xff0c;本文将介绍系统阶跃响应的综合性能指标。 一、系统阶跃响应的综合性能指标 单项指标虽然清晰明了&#xff0c;但如何统筹考虑比较困难。而偏差幅度和偏差存在的时间都与偏…

1-Tornado的介绍

1 tornado的介绍 **Tornado**是一个用Python编写的可扩展的、无阻塞的**Web应用程序框架**和**Web服务器**。 它是由FriendFeed开发使用的&#xff1b;该公司于2009年被Facebook收购&#xff0c;而Tornado很快就开源了龙卷风以其高性能着称。它的设计允许处理大量并发连接&…

这些Java并发容器,你都了解吗?

文章目录 前言并发容器1.ConcurrentHashMap 并发版 HashMap示例 2.CopyOnWriteArrayList 并发版 ArrayList示例 3.CopyOnWriteArraySet 并发 Set示例 4.ConcurrentLinkedQueue 并发队列 (基于链表)示例 5.ConcurrentLinkedDeque 并发队列 (基于双向链表)示例 6.ConcurrentSkipL…

Vue学习计划-Vue2--Vue核心(五)条件、列表渲染、表单数据

1. 条件渲染 v-if v-if“表达式”v-else-if “表达式”v-else “表达式” 适用于&#xff1a;切换频率较低的场景 特点&#xff1a;不显示dom元素&#xff0c;直接被删除 注意&#xff1a;v-if和v-else-if、v-else一起使用&#xff0c;但要求结构不能被打断 v-if和template一…

Android笔记(十七):PendingIntent简介

PendingIntent翻译成中文为“待定意图”&#xff0c;这个翻译很好地表示了它的涵义。PendingIntent描述了封装Intent意图以及该意图要执行的目标操作。PendingIntent封装Intent的目标行为的执行是必须满足一定条件&#xff0c;只有条件满足&#xff0c;才会触发意图的目标操作。…

分布式分布式事务分布式锁分布式ID

目录 分布式分布式系统设计理念目标设计思路中心化去中心化 基本概念分布式与集群NginxRPC消息中间件&#xff08;MQ&#xff09;NoSQL&#xff08;非关系型数据库&#xff09; 分布式事务1 事务2 本地事务3 分布式事务4 本地事务VS分布式事务5 分布式事务场景6 CAP原理7 CAP组…

(2/2)敏捷实践指南 Agile Practice Guide ([美] Project Management institute 著)

附录 A1 - 《PMBOK指南》映射 表A1显示了第六版《PMBOK指南》中定义的项目管理过程组与知识领域之间的对应关系 本附录说明了如何利用混合和敏捷方法处理《PMBOK指南》知识领域&#xff08;请参见表A1-2&#xff09;中所述的属性&#xff0c;其中涵盖了相同和不同的属性&…

C#网络应用程序(Web页面浏览器、局域网聊天程序)

目录 一、创建Web页面浏览器 1.示例源码 2.生成效果 二、局域网聊天程序 1.类 2.服务器端 3.客户端 一、创建Web页面浏览器 TextBox 控件用来输入要浏览的网页地址&#xff0c;Button控件用来执行浏览网页操作&#xff0c; WebBrowser控件用来显示要浏览的网页。这个控…