Thanks Ni Zihan.

随机变量的变换方法总结

（Thanks Dr. Ni Zihan）

时域信号和频域信号是等价的, 给出时域信号可以算出频域信号, 给出频域信号也可以算出时域信号. 同理拉普拉斯域和时域也是等价的, z 变换域与时域也是等价的. 利用上述三种变换可以简化信号与系统处理的复杂计算量…

那么随机变量的处理中是否也存在着变换的方法呢？

那么使用连续随机变量的概率密度函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换以及离散随机变量的概率分布函数的傅里叶变换和 z 变换, 也可以仿照信号与系统的处理手段, 对概率密度函数或者概率分布函数进行简化计算处理.

1/ 连续随机变量的概率密度函数的拉普拉斯变换被称为矩母函数 (Moment Generating Function, MGF). [但是这里有一个小注意事项, 矩母函数定义中所描述的拉普拉斯变换不是我们信号与系统学的拉普拉斯变换公式, 这里的公式需要把信号与系统中拉普拉斯变换中的 $e^{-st}$ 改成 $e^{st}]$

2/ 离散随机变量的概率分布函数的 z 变换被称为概率生成函数 (Probability Generating Function, PGF). [但是这里有一个小注意事项, 概率生成函数定义中所描述的 z 变换不是我们信号与系统学的 z 变换公式, 需要我们把信号与系统学的 z 变换公式中的 $z^{-n}$ 改成 $z^n$ , 求和下限改成 0 ]

3/ 连续性或离散型随机变量的概率密度函数或概率分布函数的连续时间傅里叶变换或离散时间傅里叶变换成为特征函数 (Characteristic Function, CF). [但是这里有一个小注意事项, 特征函数定义中所描述的傅里叶变换不是我们信号与系统学的傅里叶变换公式, 这里的公式需要把信号与系统中傅里叶变换中的 $e^{-j\omega t}改成e^{j\omega t}$ , 离散的就是 $e^{-j\omega n}$ 改成 $e^{j\omega n}$.

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概率生成函数 (probability-generating function, PGF)

面对这样一个问题，A服从均匀分布，B服从指数分布，C服从另一个高斯分布。则 A*B + C应该是什么分布呢？是否有办法求出其特征的闭式解？

概率生成函数就是这样一个工具，可以用来求解两个连续随机变量乘积的分布。而对于两个连续随机变量和的分布，可以采用卷积公式。

$\text{ 我们已经说过, 离散型 随机变量的概率分布函数的’ }z\text{ 变换’ 称为概率生成函数, 下面给出定义式 }$
$$\begin{array}{rl}{G}_X(z)& =E\left[z^X\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{z}^{n}P(X=n)\\ & =P(X=0)+zP(X=1)+z^{2}P(X=2)+\cdots \end{array}$$

这里我强调一下收玫域. 对于 z 变换, 右边信号的收玫域为 $|z|>r$, 左边信号的收玫域为 $|z|<r$.我们这里使用的’ z 变换’ 是把 $z^{-n}$ 改成 $z^n$ 的’ z 变换’. 上面的结论也正好反过来, 而且我们的’ z 变换’ 是 $n\ge 0$ (理解成右边信号) 的’ 单边 z 变换’, 所以实际上 PGF 的收玫域结构是 $|z|<r$ . 再加上概率分布函数一定绝对可和, 其必有傅里叶变换, 所以其收玫域必定包含单位圆 $|z|=1$ . 综上所述 PGF 的收玫域结构为 $|z|<r,r>1$ . 我们考虑一下, 一个参数为 $\lambda$ 的泊松分布的的 PGF:

$$\begin{array}{rl}{G}_X(z)& =\mathrm{E}\left[z^X\right]\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n\mathrm{P}(X=n)\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n\frac{{\lambda }^n{e}^{-\lambda }}{n!}\\ & =e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(z\lambda {)}^n}{n!}\\ & =e^{-\lambda }{e}^{z\lambda }\end{array}$$