堆能高效解决的经典问题

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堆能高效解决的经典问题

我会了✔️

内容

1.掌握数组中寻找第K的元素

✔️

2.理解堆排序的原理

✔️

3.合并K个排序链表

✔️

1 在数组中找第K大的元素 

LeetCode215 给定整数数组nums和整数k,请返回数组中第k个最大的元素。 请注意,你需要找的是数组排序后的第k个最大的元素,而不是第k个不同的元素。

示例1:

输入: [3,2,1,5,6,4] 和 k = 2

输出: 5

示例2:

输入: [3,2,3,1,2,4,5,5,6] 和 k = 4

输出: 4

这个题是一道非常重要的题,主要解决方法有三个,选择法,堆查找法和快速排序法。
选择法很简单,就是先遍历一遍找到最大的元素,然后再遍历一遍找第二大的,然后再遍历一遍找第三大的,直到第K次就找到了目标值了。但是这种方法只适合在面试的时候预热,面试官不会让你这么简单就开始写代码,因为该方法的时间复杂度为O(NK)。
比较好的方法是堆排序法和快速排序法。快速排序我们已经分析过,这里先看堆排序如何解决问题。
这个题其实用大堆小堆都可以解决的,但是我们推荐“找最大用小堆,找最小用大堆,找中间用两个堆”,这样更容易理解,适用范围也更广。我们构造一个大小只有4的小根堆,为了更好说明情况,我们扩展一下序列[3,2,3,1, 2 ,4 ,5, 1,5,6,2,3]。
堆满了之后,对于小根堆,并一定所有新来的元素都可以入堆的,只有大于根元素的才可以插入到堆中,否则就直接抛弃。这是一个很重要的前提。
另外元素进入的时候,先替换根元素,如果发现左右两个子树都小该怎么办呢?很显然应该与更小的那个比较,这样才能保证根元素一定是当前堆最小的。假如两个子孩子的值一样呢?那就随便选一个。

新元素插入的时候只是替换根元素,然后重新构造成小堆,完成之后,你会神奇的发现此时根的根元素正好是第4大的元素。
这时候你会发现,不管要处理的序列有多大,或者是不是固定的,根元素每次都恰好是当前序列下的第K大元素。上面的图收篇幅所限,我们省略了部分调整环节,请读者自行画一下看看。
上的代码自己实现是非常困难的,我们可以使用jdk的优先队列来解决,其思路是很简单的。由于找第 K 大元素,其实就是整个数组排序以后后半部分最小的那个元素。因此,我们可以维护一个有 K 个元素的最小堆:

  • 如果当前堆不满,直接添加;
  • 堆满的时候,如果新读到的数小于等于堆顶,肯定不是我们要找的元素,只有新遍历到的数大于堆顶的时候,才将堆顶拿出,然后放入新读到的数,进而让堆自己去调整内部结构。 

说明:这里最合适的操作其实是 replace(),即直接把新读进来的元素放在堆顶,然后执行下沉(siftDown())操作。Java 当中的 PriorityQueue 没有提供这个操作,只好先 poll() 再 offer()。
优先队列的写法就很多了,这里只例举一个有代表性的,其它的写法大同小异,没有本质差别。 

 

import java.util.PriorityQueue;
public class Solution {public int findKthLargest(int[] nums, int k) {if(k>nums.length){return -1;}int len = nums.length;// 使用一个含有 k 个元素的最小堆PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>(k, (a, b) -> a - b);for (int i = 0; i < k; i++) {minHeap.add(nums[i]);}for (int i = k; i < len; i++) {// 看一眼,不拿出,因为有可能没有必要替换Integer topEle = minHeap.peek();// 只要当前遍历的元素比堆顶元素大,堆顶弹出,遍历的元素进去if (nums[i] > topEle) {minHeap.poll();minHeap.offer(nums[i]);}}return minHeap.peek();}
}

堆查找与一般查找方法的优势是可以对超大数量的数据进行查找,还能对数量未知的流数据查找,例如LeetCode703.本题条件比较啰嗦,我们不再赘述,感兴趣的同学可以研究一下。
本部分的重点要在理解的基础上记住一个结论:找第K大用小根堆,找第K小用大根堆。
具体来说:

1.K多大就建立多大固定大小的堆

2.找最大用小堆,

3.只有比根元素大的才让进入堆。

2 堆排序原理 

查找:找小用大,找大用小
排序:升序用小,降序用大。
前面介绍了如何用堆来进行特殊情况的查找,堆的另一个很重要的作用是可以进行排序,那怎么排的呢?其实非常简单,我们知道在大顶堆中,根节点是整个结构最大的元素,我先将其拿走,剩下的重排,此时根节点就是第二大的元素,我再将其拿走,再排,依次类推。最后堆只剩一个元素的时候,是不是拿走的数据也就排好序了?
具体来说,建堆结束之后,数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶,也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换,那最大元素就放到了下标为 n 的位置。
这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作,当堆顶元素移除之后,我们把下标为 n 的元素放到堆顶,然后再通过堆化的方法,将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后,我们再取堆顶的元素,放到下标是 n−1 的位置,一直重复这个过程,直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素,排序工作就完成了。
当然在上面的过程中,放到最后一个位置的元素就不参与排序和计算了。
看一个例子,我们对上面第一章的序列 [12 23 54 2 65 45 92 47 204 31]进行排序,首先构建一个大顶堆,然后每次我们都让根元素出堆,剩下的继续调整为大顶堆:

这时候你会发现出堆的序列刚好是:204、92、65、54、47、45...。也就是刚好是从大到小的顺序排列的。
所以我们可以明白 ,如果是一个小顶堆,那自然是升序的。所以在排序的时候:
排序:升序用小,降序用大。
这个与前面的查找是相反的。
明白了这几个堆的特征,再做相关题目就毫无压力了。

3 合并K个排序链表

Leetcode23.给你一个链表数组,每个链表都已经按升序排列。请你将所有链表合并到一个升序链表中,返回合并后的链表。

示例1:

输入:lists = [[1,4,5],[1,3,4],[2,6]]

输出:[1,1,2,3,4,4,5,6]

解释:链表数组如下:

[

1->4->5,

1->3->4,

2->6

]

将它们合并到一个有序链表中得到。

1->1->2->3->4->4->5->6

给了数组,就建立多大的固定堆

给了几个数组,就建立多大的堆,固定大小的

这个问题五六种方法,我们现在就来看堆排序如何解决。因为每个队列都是从小到大排序的,我们每次都要找最小的元素,所以我们要用小根堆,构建方法和操作与大顶堆完全一样,不同的是每次比较谁更小。 使用堆合并的策略是不管几个链表,最终都是按照顺序来的。每次都将剩余节点的最小值加到输出链表尾部,然后进行堆调整,最后堆空的时候,合并也就完成了。
还有一个问题,这个堆应该定义为多大呢?给了几个链表,堆就定义多大。

 

public ListNode mergeKLists(ListNode[] lists) {if (lists == null || lists.length == 0) return null;PriorityQueue<ListNode> q = new PriorityQueue<>(Comparator.comparing(node -> node.val));for (int i = 0; i < lists.length; i++) {if (lists[i] != null) {q.add(lists[i]);}}ListNode dummy = new ListNode(0);ListNode tail = dummy;while (!q.isEmpty()) {tail.next = q.poll();tail = tail.next;if (tail.next != null) {q.add(tail.next);}}return dummy.next;
}

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