Leetcode 第 110 场双周赛 Problem D 2809. 使数组和小于等于 x 的最少时间(DP 好题) 题目 给你两个长度相等下标从 0 开始的整数数组 nums1 和 nums2 。每一秒,对于所有下标 0 <= i < nums1.length ,nums1[i] 的值都增加 nums2[i] 。操作 完成后 ,你可以进行如下操作: 选择任一满足 0 <= i < nums1.length 的下标 i ,并使 nums1[i] = 0 。 同时给你一个整数 x 。 请你返回使 nums1 中所有元素之和 小于等于 x 所需要的 最少 时间,如果无法实现,那么返回 -1 。 1 <= nums1.length <= 10 ^ 3 1 <= nums1[i] <= 10 ^ 3 0 <= nums2[i] <= 10 ^ 3 nums1.length == nums2.length 0 <= x <= 10 ^ 6 解法 DP+贪心+正难则反: 第 1 步: 每个 nums1[i] 置为 0,超过一次不如仅最后一次置为 0, 可知对于 nums1[i] 一样大,且不会影响其他 nums1, 因此时间最多就是 nums1.len、超过则无意义, 第 2 步: 问题转化为经过最少 s 秒且 s <= nums1.len,使得 nums3 = nums2[x]*(s-1) + nums2[y]*(s-2) + … + nums2[z]*0 + nums1[a] + …,nums3.len = nums1.len nums3 总和 sum(nums3) 小于等于 x 时,最小的 s 就是答案,否则答案就是 -1, 同时不可能推出 s 单调性,因此无法二分答案, 第 3 步: 正面直接求最小值无法想到什么贪心策略,如果使用 DP 则第 j+1 秒会影响前 j 秒的数据,因为每秒每个元素会加上 nums2,不满足无后效性 , 正难则反: 求经过 s 秒最多可以减少多少 总数 sum(nums1) + s*sum(nums2) 减去即可 第 4 步: 动规状态:dp[i][j] 为前 i 个数经过 j 秒最多可以减少多少,注意 i>=j, 初始化 dp[i][0]=0,即前 i 个数不经过任何时间则无法减少 第 5 步 :转移方程:dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + nums1[i-1]+j*nums2[i-1]), 即第 i 个数经过 j 秒是否删除的最大值,取决于是否需要再第 j 秒清理掉第 i 个元素 此时 DP 无后效性 ,因为第 i+1 个数不会影响前 i 个数的更新,同时需要满足减少 j 个元素的最大值、等于减少前(i-1 个元素中选 j-1 个元素)的最大值加第 i 个元素, 可以观察减少的是 nums1[i-1]+j*nums2[i-1],由于前 j 秒等价于选 j 个元素,此时 nums1 顺序无所谓,j 固定升序、保证 j*nums2[i-1] 最大需要使 nums2 升序(nums1 跟随排序) 第 6 步: 最后结果就是枚举秒数 j=[0,nums1.len],sum(nums1) + j * sum(nums2) - dp[nums1.len][j] <= x,找到最小的 j,没有则返回 -1 空间压缩:由于 dp[i][j] 仅与 dp[i-1][j]、dp[i-1][j-1] 有关,因此可以使用一维 dp[j] 倒序处理 时间复杂度:O(n ^ 2),空间复杂度:O(n) 代码
public int minimumTime ( List < Integer > nums1, List < Integer > nums2, int x) { if ( nums1 == null || nums2 == null || nums1. size ( ) != nums2. size ( ) || nums1. size ( ) <= 0 ) { return - 1 ; } int n = nums1. size ( ) ; int sumNums1 = nums1. stream ( ) . mapToInt ( Integer :: intValue ) . sum ( ) ; int sumNums2 = nums2. stream ( ) . mapToInt ( Integer :: intValue ) . sum ( ) ;
List < Pair < Integer , Integer > > numsPair = new ArrayList < > ( n) ; for ( int i = 0 ; i < n; i++ ) { numsPair. add ( new Pair < > ( nums2. get ( i) , nums1. get ( i) ) ) ; } Collections . sort ( numsPair, ( o1, o2) -> o1. getKey ( ) - o2. getKey ( ) ) ;
int [ ] dp = new int [ n + 1 ] ; for ( int i = 1 ; i < n + 1 ; i++ ) { for ( int j = i; j >= 1 ; j-- ) { dp[ j] = Math . max ( dp[ j] , dp[ j- 1 ] + numsPair. get ( i- 1 ) . getValue ( ) + j * numsPair. get ( i- 1 ) . getKey ( ) ) ; } }
int res = - 1 ; for ( int j = 0 ; j <= n; j++ ) { if ( sumNums1 + j * sumNums2 - dp[ j] <= x) { res = j; break ; } } return res; }