[足式机器人]Part2 Dr. CAN学习笔记-数学基础Ch0-3线性化Linearization

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Dr. CAN学习笔记-数学基础Ch0-3线性化Linearization

  • 1. 线性系统 Linear System 与 叠加原理 Superposition
  • 2. 线性化:Taylor Series
  • 3. Summary


1. 线性系统 Linear System 与 叠加原理 Superposition

x ˙ = f ( x ) \dot{x}=f\left( x \right) x˙=f(x)

  1. x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2 是解
  2. x 3 = k 1 x 1 + k 2 x 2 , k 1 , k 2 ∈ R x_3=k_1x_1+k_2x_2,k_1,k_2\in \mathbb{R} x3=k1x1+k2x2,k1,k2R
  3. x 3 x_3 x3 是解

eg:
x ¨ + 2 x ˙ + 2 x = 0 √ x ¨ + 2 x ˙ + 2 x 2 = 0 × x ¨ + sin ⁡ x ˙ + 2 x = 0 × \ddot{x}+2\dot{x}+\sqrt{2}x=0 √ \\ \ddot{x}+2\dot{x}+\sqrt{2}x^2=0 × \\ \ddot{x}+\sin \dot{x}+\sqrt{2}x=0 × x¨+2x˙+2 x=0√x¨+2x˙+2 x2=0×x¨+sinx˙+2 x=0×

2. 线性化:Taylor Series

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + ⋯ + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n f\left( x \right) =f\left( x_0 \right) +\frac{f^{\prime}\left( x_0 \right)}{1!}\left( x-x_0 \right) +\frac{{f^{\prime}}^{\prime}\left( x_0 \right)}{2!}\left( x-x_0 \right) ^2+\cdots +\frac{f^n\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n f(x)=f(x0)+1!f(x0)(xx0)+2!f(x0)(xx0)2++n!fn(x0)(xx0)n

x − x 0 → 0 , ( x − x 0 ) n → 0 x-x_0\rightarrow 0,\left( x-x_0 \right) ^n\rightarrow 0 xx00,(xx0)n0,则有: ⇒ f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) ⇒ f ( x ) = k 1 + k 2 x − k 3 x 0 ⇒ f ( x ) = k 2 x + b \Rightarrow f\left( x \right) =f\left( x_0 \right) +f^{\prime}\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) \Rightarrow f\left( x \right) =k_1+k_2x-k_3x_0\Rightarrow f\left( x \right) =k_2x+b f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)f(x)=k1+k2xk3x0f(x)=k2x+b

在这里插入图片描述
eg1:
在这里插入图片描述
eg2:
在这里插入图片描述
eg3:
在这里插入图片描述

3. Summary

  1. f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) , x − x 0 → 0 f\left( x \right) =f\left( x_0 \right) +\frac{f^{\prime}\left( x_0 \right)}{1!}\left( x-x_0 \right) ,x-x_0\rightarrow 0 f(x)=f(x0)+1!f(x0)(xx0),xx00
  2. [ x ˙ 1 d x ˙ 2 d ] = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ] ∣ x = x 0 [ x 1 d x 2 d ] \left[ \begin{array}{c} \dot{x}_{1\mathrm{d}}\\ \dot{x}_{2\mathrm{d}}\\ \end{array} \right] =\left. \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}\\ \end{matrix} \right] \right|_{\mathrm{x}=\mathrm{x}_0}\left[ \begin{array}{c} x_{1\mathrm{d}}\\ x_{2\mathrm{d}}\\ \end{array} \right] [x˙1dx˙2d]=[x1f1x1f2x2f1x2f2] x=x0[x1dx2d]

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