一.问题描述

给定带权有向图G=（V，E），对任意顶点 V （ij)，求顶点到顶点的最短路径。

转化为：

多源点最短路径求解问题

解决方案一：

每次以一个顶点为源点调用Dijksra算法。时间复杂度为O（)

解决方法二：

Floyd算法

二.弗洛伊德算法的基本思想

        对于从到的弧，进行n次试探：首先考虑路径是否存在，如果存在，则比较和的路径长度，取较短者为从到的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点，以此类推，在经过n次比较后，最后求得从顶点到得最短路径。

三.弗洛伊德算法的实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <stack>
using namespace std;const int MAX_VERTEX=10;//带权（邻接矩阵）有向图
class MGraph{
private:int arc[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//邻接矩阵int vertex[MAX_VERTEX];//存储每个结点的信息int vertexNum,arcNum;//实际顶点个数，边的条数
public:MGraph(int n,int e);void Dijkstra(int start);int findMinDist(int dist[],int s[]);void display();void displayPath(int dist[],int path[],int start,int min);void Floyd();char* string_concatenation(char *s1,char *s2);
};
int main(int argc, const char * argv[]) {MGraph G(5, 7);G.display();G.Floyd();//G.Dijkstra(0);//ALGraph G(7, 10);//G.topology();return 0;
}
MGraph::MGraph(int n,int e){int p,q,w;vertexNum=n;arcNum=e;for(int i=0;i<n;i++){//初始化邻接矩阵for(int j=0;j<n;j++){arc[i][j]=-1;//-1表示不可到达}}for(int i=0;i<n;i++){vertex[i]=i;arc[i][i]=0;}for(int i=0;i<e;i++){cin>>p>>q>>w;arc[p][q]=w;}
}
void MGraph::Floyd(){int dist[vertexNum][vertexNum],i,j,k;char* path[vertexNum][vertexNum];for(i=0;i<vertexNum;i++){//初始化for(j=0;j<vertexNum;j++){//path，dist数组初始化dist[i][j]=arc[i][j];if(arc[i][j]!=-1){path[i][j]=new char[3];path[i][j][0]=i+'a';path[i][j][1]=j+'a';path[i][j][2]='\0';}else{path[i][j]=new char[1];path[i][j][0]='\0';}}}for(k=0;k<vertexNum;k++){for(i=0;i<vertexNum;i++){for(j=0;j<vertexNum;j++){if(dist[i][k]!=-1&&dist[k][j]!=-1){if(dist[i][j]>dist[i][k]+dist[k][j]||dist[i][j]==-1){dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];delete [] path[i][j];path[i][j]=string_concatenation(path[i][k], path[k][j]);}}}}}for(i=0;i<vertexNum;i++){for(j=0;j<vertexNum;j++){if(j!=i){cout<<path[i][j]<<endl;}delete [] path[i][j];}}
}char* MGraph::string_concatenation(char *s1,char *s2){int len1=(int)strlen(s1);int len2=(int)strlen(s2);int k=1,i;const int n=len1+len2;char *path=new char[n];for(i=0;i<len1;i++){path[i]=s1[i];}for(;i<len1+len2-1;i++){path[i]=s2[k++];}path[i]='\0';return path;
}