每周一算法：背包问题（一）01背包

01背包

有 $N$ 件物品和一个容量是 $M$ 的背包。每件物品只能使用一次。第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数， $N$ ， $M$ ，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i$ , $w_i$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

$0 < N, M \leq 1000$

$0<v_i,w_i≤1000$

算法思想

状态表示

01背包是最基础的背包问题，其特点是每件物品仅有一个。而对于每件物品只有两种选择，放入背包或者不放入背包。

因此，可以将处理每件物品作为一个阶段，考虑在不同背包容量情况下的最大价值，将其状态定义为 $f [i] [j]$ ，表示对于前 $i$ 件物品，在背包容量为 $j$ 的情况下，背包获得的最大价值。

状态计算

在当前阶段，对于第 $i$ 件物品来说，可以选择放入背包或者不放入背包两种情况：

第 $i$ 件物品不放入背包，此时的最大价值为前 $i - 1$ 件物品，在背包容量为 $j$ 的情况下的最大价值 $f [i - 1] [j]$ 。
第 $i$ 件物品放入背包，前提是背包能够装得下第 $i$ 件物品，也就是背包容量 $j\ge v_i$ 。此时背包的最大价值为前 $i - 1$ 件物品，在背包容量为 $j-v_i$ 的情况下的最大价值 $f[i-1][j-v_i]+w_i$ 。（ $v_i和w_i$ 分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值）

那么， $f [i] [j]$ 应该选择以上两种情况的最大值，即 $f[i][j] = \max\{f[i-1][j], f[i-1][j-v_i]+w_i\}$ 。

初始状态

$f [0] [0]$ 表示将前 $0$ 件物品装入容量为 $0$ 的背包中的产生的最大价值为 $0$ 。

时间复杂度

状态数 $n\times m$ ，状态计算的时间复杂度为 $O (1)$ ，总的时间复杂的为 $O(n\times m)$ 。

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 1010;
int f[N][M];
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++){int v, w;cin >> v >> w;for(int j = 0; j <= m; j ++){f[i][j] = f[i - 1][j];if(j >= v) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);}}cout << f[n][m];return 0;
}

空间优化

滚动数组

根据上述状态转移方程： $f[i][j] = \max\{f[i-1][j], f[i-1][j-v_i]+w_i\}$ ，可以发现第 $i$ 阶段的状态只和第 $i - 1$ 阶段的状态有关。因此可以考虑使用滚动数组进行空间优化。代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 1010;
int f[2][M];
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++){int v, w;cin >> v >> w;for(int j = 0; j <= m; j ++){f[i & 1][j] = f[i - 1 & 1][j];if(j >= v) f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[i - 1 & 1][j - v] + w);}}cout << f[n & 1][m];return 0;
}

一维状态表示

根据上述分析，第 $i$ 阶段的状态只和第 $i - 1$ 阶段的状态有关。考虑能否直接用一维数组计算状态？那么需要保证的是要使用的是 $i - 1$ 阶段的状态来计算第 $i$ 阶段的状态。

但是如果按照从小到大枚举背包容量，那么在使用的 $f [j - v]$ 来计算 $f [j]$ 时，由于 $j-v\le v$ ，因此 $f [j - v]$ 已经被更新为第 $i$ 阶段的状态了，会导致结果发生错误。因此可以从后向前枚举背包容量，防止状态“污染”。代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 1010;
int f[M];
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++){int v, w;cin >> v >> w;for(int j = m; j >= v; j --){f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}}cout << f[m];return 0;
}