均匀线阵
均匀线性阵列(ULA：Uniform Linear Array)：有N个阵元位于z轴上且具有均匀间距d。
一般都把阵列的中心放在坐标系的原点。如下图
阵元的位置为
p z n = ( n − N − 1 2 ) d ， n = 0 , 1 , … , N − 1 p_{z_n}=\big(n-\frac{N-1}{2}\big)d，n=0,1,…,N-1 pzn=(n−2N−1)d，n=0,1,…,N−1
且
p x n = p y n = 0 p_{x_n}=p_{y_n}=0 pxn=pyn=0
则流形矢量 v k ( k ) v_k(k) vk(k)为
v k ( k z ) = [ e j ( N − 1 2 ) k z d ， e j ( N − 1 2 ) k z d ， … ， e j ( N − 1 2 ) k z d ] T v_k(k_z)=\big[e^{j(\frac{N-1}{2})}k_zd，e^{j(\frac{N-1}{2})}k_zd，…，e^{j(\frac{N-1}{2})}k_zd\big]^T vk(kz)=[ej(2N−1)kzd，ej(2N−1)kzd，…，ej(2N−1)kzd]T
其中，
k z = − 2 π λ c o s θ k_z=-\frac{2\pi}{\lambda}cos\theta kz=−λ2πcosθ
则频率-波数响应函数为
Υ ( ω , k ) = ω H v k ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 ω n ∗ e − j ( n − N − 1 2 ) k z d \pmb{\Upsilon} (\omega,k)=\pmb{\omega} ^H\pmb{v}_{\pmb{k}}(k)=\sum_{n=0}^{N-1}\omega_n^*e^{-j(n-\frac{N-1}{2})k_zd} Υ(ω,k)=ωHvk(k)=n=0∑N−1ωn∗e−j(n−2N−1)kzd
令
Ψ = − k z d = 2 π λ c o s θ d = 2 π λ u z d \Psi=-k_zd=\frac{2\pi}{\lambda}cos\theta d=\frac{2\pi}{\lambda}u_zd Ψ=−kzd=λ2πcosθd=λ2πuzd
u z u_z uz为z轴的方向余弦， u z = c o s θ u_z = cos\theta uz=cosθ
则有，
Υ Ψ ( Ψ ) = e − j N − 1 2 Ψ ∑ n = 0 N − 1 ω n ∗ e − j n Ψ \pmb{\Upsilon}_{\Psi} (\Psi)=e^{-j\frac{N-1}{2}\Psi}\sum_{n=0}^{N-1}\omega_n^*e^{-jn\Psi} ΥΨ(Ψ)=e−j2N−1Ψn=0∑N−1ωn∗e−jnΨ
称 Υ Ψ ( Ψ ) \pmb{\Upsilon}_{\Psi} (\Psi) ΥΨ(Ψ)为在 Ψ \Psi Ψ空间的频率-波束响应函数。
仅在区域 0 ≤ θ ≤ π 0 \le \theta \le \pi 0≤θ≤π或 − 1 ≤ u z ≤ 1 -1 \le u_z \le 1 −1≤uz≤1代表传播的信号，因此可视区域为 − 2 π d λ ≤ Ψ ≤ 2 π d λ -\frac{2\pi d}{\lambda}\le \Psi \le \frac{2\pi d}{\lambda} −λ2πd≤Ψ≤λ2πd或 − 2 π λ ≤ k z ≤ 2 π λ -\frac{2\pi }{\lambda}\le k_z \le \frac{2\pi }{\lambda} −λ2π≤kz≤λ2π
定义
z = e j Ψ z=e^{j\Psi} z=ejΨ
则有
Υ z ( z ) = z − N − 1 2 ∑ n = 0 N − 1 ω n ∗ z n \pmb{\Upsilon}_z (z)=z^{-\frac{N-1}{2}}\sum_{n=0}^{N-1}\omega_n^*z^n Υz(z)=z−2N−1n=0∑N−1ωn∗zn
θ \theta θ和 u u u空间下的阵列流形矢量如下：
[ v θ ( θ ) ] n = e j ( n − N − 1 2 ) 2 π d λ c o s θ ， n = 0 ， … ， N − 1 [v_{\theta}(\theta)]_n=e^{j(n-\frac{N-1}{2})\frac{2\pi d}{\lambda}cos \theta}，n=0，…，N-1 [vθ(θ)]n=ej(n−2N−1)λ2πdcosθ，n=0，…，N−1
[ v u ( u ) ] n = e j ( n − N − 1 2 ) 2 π d λ u ， n = 0 ， … ， N − 1 [v_{u}(u)]_n=e^{j(n-\frac{N-1}{2})\frac{2\pi d}{\lambda}u}，n=0，…，N-1 [vu(u)]n=ej(n−2N−1)λ2πdu，n=0，…，N−1
分别在三种不同的空间 θ 、 u 、 Ψ \theta、u、\Psi θ、u、Ψ下对应的波束方向图
B θ ( θ ) = ω H v θ ( θ ) = e − j ( N − 1 2 ) 2 π d λ c o s θ ∑ n = 0 N − 1 ω n ∗ e j n 2 π d λ c o s θ ， 0 ≤ θ ≤ π B_\theta(\theta)=\omega ^H v_\theta(\theta)=e^{-j(\frac{N-1}{2})\frac{2\pi d}{\lambda}cos\theta}\sum_{n=0}^{N-1}\omega_n^*e^{jn\frac{2\pi d}{\lambda}cos\theta}，0\le \theta \le \pi Bθ(θ)=ωHvθ(θ)=e−j(2N−1)λ2πdcosθn=0∑N−1ωn∗ejnλ2πdcosθ，0≤θ≤π
B u ( u ) = ω H v u ( u ) = e − j ( N − 1 2 ) 2 π d λ u ∑ n = 0 N − 1 ω n ∗ e j n 2 π d λ u ， − 1 ≤ u ≤ 1 B_u(u)=\omega ^H v_u(u)=e^{-j(\frac{N-1}{2})\frac{2\pi d}{\lambda}u}\sum_{n=0}^{N-1}\omega_n^*e^{jn\frac{2\pi d}{\lambda}u}，-1\le u \le 1 Bu(u)=ωHvu(u)=e−j(2N−1)λ2πdun=0∑N−1ωn∗ejnλ2πdu，−1≤u≤1
B Ψ ( Ψ ) = ω H v Ψ ( Ψ ) = e − j ( N − 1 2 ) Ψ ∑ n = 0 N − 1 ω n ∗ e j n Ψ ， − 2 π d λ ≤ Ψ ≤ 2 π d λ B_\Psi(\Psi)=\omega ^H v_\Psi(\Psi)=e^{-j(\frac{N-1}{2})\Psi}\sum_{n=0}^{N-1}\omega_n^*e^{jn\Psi}，-\frac{2\pi d}{\lambda}\le \Psi \le \frac{2\pi d}{\lambda} BΨ(Ψ)=ωHvΨ(Ψ)=e−j(2N−1)Ψn=0∑N−1ωn∗ejnΨ，−λ2πd≤Ψ≤λ2πd
对于均匀线阵，通常用 Ψ \Psi Ψ来表示阵列流形，
v Ψ ( Ψ ) = [ e − j ( N − 1 2 ) Ψ ， e − j ( N − 3 2 ) Ψ ， … ， e j ( N − 3 2 ) Ψ ， e j ( N − 1 2 ) Ψ ] v_\Psi(\Psi)=\big[e^{-j(\frac{N-1}{2})\Psi}，e^{-j(\frac{N-3}{2})\Psi}，…，e^{j(\frac{N-3}{2})\Psi}，e^{j(\frac{N-1}{2})\Psi}\big] vΨ(Ψ)=[e−j(2N−1)Ψ，e−j(2N−3)Ψ，…，ej(2N−3)Ψ，ej(2N−1)Ψ]
可以看到均匀阵列流形矢量具有共轭对称性，也可以写为如下形式：
v Ψ ( Ψ ) = e − j ( N − 1 2 ) Ψ [ 1 ， e − j Ψ ， … ， e j ( N − 1 ) Ψ ] v_\Psi(\Psi)=e^{-j(\frac{N-1}{2})\Psi}\big[1，e^{-j\Psi}，…，e^{j(N-1)\Psi}\big] vΨ(Ψ)=e−j(2N−1)Ψ[1，e−jΨ，…，ej(N−1)Ψ]
均匀加权线阵
考虑均匀加权的情况，此时
ω = 1 N 1 \omega=\frac{1}{N}\pmb{1} ω=N11
1 \pmb{1} 1是 N ∗ 1 N*1 N∗1的单位向量
则在 Υ \pmb{\Upsilon} Υ空间的频率-波束函数如下
Υ Ψ ( Ψ ) = 1 N e − j N − 1 2 Ψ ∑ n = 0 N − 1 e − j n Ψ = 1 N e − j N − 1 2 Ψ [ 1 − e j N Ψ 1 − e j Ψ ] \pmb{\Upsilon}_{\Psi} (\Psi)=\frac{1}{N}e^{-j\frac{N-1}{2}\Psi}\sum_{n=0}^{N-1}e^{-jn\Psi}=\frac{1}{N}e^{-j\frac{N-1}{2}\Psi}\big[\frac{1-e^{jN\Psi}}{1-e^{j\Psi}}\big] ΥΨ(Ψ)=N1e−j2N−1Ψn=0∑N−1e−jnΨ=N1e−j2N−1Ψ[1−ejΨ1−ejNΨ]
或者
Υ Ψ ( Ψ ) = 1 N s i n ( N Ψ 2 ) s i n ( Ψ 2 ) ， − ∞ < Ψ < ∞ \pmb{\Upsilon}_{\Psi} (\Psi)=\frac{1}{N}\frac{sin(N\frac{\Psi}{2})}{sin(\frac{\Psi}{2})}，-\infty < \Psi < \infty ΥΨ(Ψ)=N1sin(2Ψ)sin(N2Ψ)，−∞<Ψ<∞
当 N N N为奇数时， Υ Ψ ( Ψ ) \pmb{\Upsilon}_{\Psi} (\Psi) ΥΨ(Ψ)是周期函数，周期为 2 π 2\pi 2π。如果 N N N为偶数时，波瓣在 − + 2 π 、 − + 6 π ^+_-2\pi、^+_-6\pi −+2π、−+6π处的值为负值，周期为 4 π 4\pi 4π。对于任意的N值， ∣ Υ Ψ ( Ψ ) ∣ |\pmb{\Upsilon}_{\Psi} (\Psi)| ∣ΥΨ(Ψ)∣的周期为 2 π 2\pi 2π。
频率-波束函数在dB下的表示为：
Υ d B ( Ψ ) = 10 l o g 10 ∣ Υ Ψ ( Ψ ) ∣ 2 \pmb{\Upsilon}_{dB} (\Psi) = 10log_{10}|\pmb{\Upsilon}_{\Psi} (\Psi)|^2 ΥdB(Ψ)=10log10∣ΥΨ(Ψ)∣2
仿真：
当 N = 11 N=11 N=11时，单个周期 θ ∈ ( − π , 0 ) \theta \in (-\pi,0) θ∈(−π,0)内，则 Ψ ∈ [ − 2 π d λ , 2 π d λ ] \Psi \in \big[-2\pi\frac{d}{\lambda},2\pi\frac{d}{\lambda}] Ψ∈[−2πλd,2πλd]空间下的频率-波束响应函数图，阵元间距 d d d为半波长
仿真结果如下：
代码如下：
c = 3e8;
f0 = 77e9;
lambda = c / f0;
d = lambda / 2; %阵元间距为半波长N = 11; %阵元个数
theta = -pi:0.0001:0; %theta域的可视区域为[-pi，0]
Uz = cos(theta); %u域的可视区域为[-1,1]Psi = 2*pi*d*Uz/lambda; %Psi域的可视区域为[-2*pi*d/lambda,2*pi*d/lambda]
Upsilon = 1/N * sin(N*Psi/2) ./ sin(Psi/2); %Psi空间的频率-波束响应
Upsilon_dB = 10*log10(abs(Upsilon).^2); %db
figure('color','w');
subplot(121)
plot(Psi/pi,Upsilon);xlabel('\Psi/pi');ylabel('频率-波束响应函数');
title('单个周期频率-波束响应函数');
subplot(122)
plot(Psi/pi,Upsilon_dB);xlabel('\Psi/pi');ylabel('频率-波束响应函数(dB)');
title('单个周期频率-波束响应函数(dB)');ylim([-25,0]);
分别在 N = 10 N=10 N=10和 N = 11 N=11 N=11下仿真，得到 Ψ ∈ [ − 10 π d λ , 10 π d λ ] \Psi \in \big[-10\pi\frac{d}{\lambda},10\pi\frac{d}{\lambda}] Ψ∈[−10πλd,10πλd]空间下的频率-波束响应函数图，阵元间距 d d d为半波长
仿真结果如下：
代码如下：
c = 3e8;
f0 = 77e9;
lambda = c / f0;
d = lambda / 2;N = [10,11]; %阵元个数
Psi = -10*pi*d/lambda:0.0001:10*pi*d/lambda; %Psi域的可视区域为[-2*pi*d/lambda,2*pi*d/lambda]，对可视区域周期化
figure('color','w');
for i = 1:1:length(N)Upsilon = 1/N(i) * sin(N(i)*Psi/2) ./ sin(Psi/2); %Psi空间的频率-波束响应Upsilon_dB = 10*log10(abs(Upsilon).^2); %dbsubplot(2,2,i);plot(Psi/pi,Upsilon);xlabel('\Psi/pi');ylabel('频率-波束响应函数');title(['阵元数为',num2str(N(i)),'的频率-波束响应函数']);subplot(2,2,i+2)plot(Psi/pi,Upsilon_dB);xlabel('\Psi/pi');ylabel('频率-波束响应函数(dB)');title(['阵元数为',num2str(N(i)),'的频率-波束响应函数(dB)']);ylim([-25,0]);
end
用 k z k_z kz来表示频率-波数响应：
Υ ( ω : k z ) = 1 N s i n ( N k z d 2 ) s i n ( k z d 2 ) ， − ∞ < Ψ < ∞ \pmb{\Upsilon} (\omega : k_z)=\frac{1}{N}\frac{sin(Nk_z\frac{d}{2})}{sin(k_z\frac{d}{2})}，-\infty < \Psi < \infty Υ(ω:kz)=N1sin(kz2d)sin(Nkz2d)，−∞<Ψ<∞
Υ ( ω : k z ) \pmb{\Upsilon} (\omega : k_z) Υ(ω:kz)是周期函数，周期为 2 π / d 2\pi/d 2π/d
在三种不同的空间 θ 、 u 、 Ψ \theta、u、\Psi θ、u、Ψ下对应的波束方向图
B θ ( θ ) = 1 N s i n ( N 2 2 π λ c o s θ d ) s i n ( 1 2 2 π λ c o s θ d ) ， 0 ≤ θ ≤ π B_\theta(\theta)=\frac{1}{N}\frac{sin(\frac{N}{2}\frac{2\pi}{\lambda}cos\theta d)}{sin(\frac{1}{2}\frac{2\pi}{\lambda}cos\theta d)}，0\le \theta \le \pi Bθ(θ)=N1sin(21λ2πcosθd)sin(2Nλ2πcosθd)，0≤θ≤π
B u ( u ) = = 1 N s i n ( π N d λ u ) s i n ( π d λ u ) ， − 1 ≤ u ≤ 1 B_u(u)==\frac{1}{N}\frac{sin(\frac{\pi N d}{\lambda} u)}{sin(\frac{\pi d}{\lambda} u)}，-1\le u \le 1 Bu(u)==N1sin(λπdu)sin(λπNdu)，−1≤u≤1
B Ψ ( Ψ ) = 1 N s i n ( N Ψ 2 ) s i n ( Ψ 2 ) ， − 2 π d λ ≤ Ψ ≤ 2 π d λ B_\Psi(\Psi)=\frac{1}{N}\frac{sin(N\frac{\Psi}{2})}{sin(\frac{\Psi}{2})}，-\frac{2\pi d}{\lambda}\le \Psi \le \frac{2\pi d}{\lambda} BΨ(Ψ)=N1sin(2Ψ)sin(N2Ψ)，−λ2πd≤Ψ≤λ2πd
在 θ \theta θ空间下，绘制极坐标系下的波束方向图
仿真结果如下：
c = 3e8;
f0 = 77e9;
lambda = c / f0;
d = lambda / 2; %阵元间距为半波长N = 11; %阵元个数
theta = -pi:0.0001:pi; %theta域的可视区域为[-pi，0]B_theta = 1/N * sin(N/2*2*pi/lambda*cos(theta)*d) ./ sin(1/2*2*pi/lambda*cos(theta)*d); %theta空间的频率-波束响应
B_theta_dB = 10*log10(abs(B_theta)); %db
B_theta_dB(B_theta_dB<-35) = -35; %将小于35db的置为35db
figure('color','w');
polarplot(theta,B_theta_dB);
pax = gca;pax.ThetaDir = 'clockwise';
pax.ThetaZeroLocation = 'left';
rlim([-35 0])
title('\theta空间极坐标波束方向图');
分别在空间 k z 、 Υ 、 u 、 θ k_z、\Upsilon、u、\theta kz、Υ、u、θ下，绘制频率波束响应函数
仿真如下：
代码如下：
c = 3e8;
f0 = 77e9;
lambda = c / f0;
d = lambda / 2; %阵元间距为半波长N = 10; %阵元个数
%theta、kz、Upsilon、u、空间下绘制波束方向图
figure('color','w');
% theta空间
theta = -pi:0.001:pi; %theta域
B_theta = 1/N * sin(N/2*2*pi/lambda*cos(theta)*d) ./ sin(1/2*2*pi/lambda*cos(theta)*d); %theta空间的频率-波束响应
subplot(4,1,1)
plot(theta,abs(B_theta));
title('\theta空间波束方向图');
xlim([-pi,pi]);ylim([0,1])
set(gca, 'XTick', [-pi -pi/2 0 pi/2 pi])
set(gca,'xtickLabel',{180, 90, 0 -90 -180})% u空间
u = -1:0.001:3; %u域 u = cos(theta)
B_u = 1/N * sin(N/2*2*pi/lambda*u*d) ./ sin(1/2*2*pi/lambda*u*d); %u空间的频率-波束响应
subplot(4,1,2)
plot(u,abs(B_u));
title('u空间波束方向图');
xlim([-1,3]);ylim([0,1])
set(gca, 'XTick', [-1 0 1 2 3])% kz域 kz=2*pi/lambda*u
kz = 2*pi/lambda*u;
B_kz = 1/N * sin(N/2*kz*d) ./ sin(1/2*kz*d); %kz空间的频率-波束响应
subplot(4,1,3)
plot(kz*lambda/2,abs(B_kz));
title('kz空间波束方向图');
xlim([-pi,3*pi]);ylim([0,1])
set(gca, 'XTick', [-pi 0 pi 2*pi 3*pi])
set(gca,'xtickLabel',{'-π/d',0,'π/d','2π/d','3π/d'})
% Psi域 Psi = kz*d
Psi = kz * d;
B_psi = 1/N * sin(N/2*Psi) ./ sin(1/2*Psi); %Psi空间的频率-波束响应
subplot(4,1,4)
plot(Psi,abs(B_psi));
title('\Psi空间波束方向图');
xlim([-pi,3*pi]);ylim([0,1])
set(gca, 'XTick', [-pi 0 pi 2*pi 3*pi])
set(gca,'xtickLabel',{'-π',0,'π','2π','3π'})
