定义

设$X_1,X_2,...,X_n,...$ 是一个随机变量序列，$A$ 是一个常数，如果对任意 $ϵ>0$，有

lim ⁡ n → ∞ P { ∣ X n − A ∣ < ϵ } = 1 \lim_{n\rightarrow \infty}P\left\{\left|X_n-A\right|<\epsilon \right\}=1 n→∞lim​P{∣Xn​−A∣<ϵ}=1

则称随机变量序列 $X_1,X_2,...,X_n,...$ 依概率收敛于常数 $A$，记作 $X_n\stackrel{P}{⟶}A$.

我的理解

这是一些特定的随机序列才会有的特性，这个定义主要是因为我们在估计总体的随机变量的数字特征时（例如总体的期望、方差等），如果我们能够找到一个可以收敛于这个数字特征的统计量，例如直观上似乎有（事实上也是）简单随机样本的样本均值收敛于期望，我们就可以通过不断增大随机序列的n，来逼近这个真实的数字特征。

例子

抛硬币，如果我们把统计量设置为 $Z_n=\{\begin{array}{r}0反面\\ 1正面\end{array}$，那么无论 $n$ 取多大，$Z_n$ 总是在 $0,1$两个值之间跳动，显然我们$Z_n$是不会依概率收敛于任何常数 $A$ 的。

但是如果我们把统计量设置为 $X_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{Z}_n}{n}$，根据我们似乎已经在脑子里根深蒂固的“频率趋近于概率”，它就会收敛于 $\frac{1}{2}$ 了。事实上，根据伯努利大数定律，它确实如此。

总结

定义依概率收敛，主要是为了衡量我们选取的统计量在增加实验次数（或者说样本容量）时，是否可以更加靠近总体真实的数字特征，这样，我们才有增加试验次数的意义。