21.特征值，特征向量

对于一个方阵$A$，若$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$，即$A\vec{x}$平行于$\vec{x}$，那么$\lambda$是$A$的特征值，$\vec{x}$是$A$的特征向量，特征向量不可为$\vec{0}$

1. 当$\lambda =0$时，$\vec{x}$属于$A$的零空间，而可逆矩阵的零空间只有$\vec{0}$，所以可逆矩阵的特征值不可能为$0$

2. 依几何意义可知，某空间的投影矩阵的特征向量只可能是正交于该空间的向量或者是该空间中的向量，二者对应的特征值分别为$0,1$

3. 单位矩阵的特征向量可以是$\vec{0}$之外的任意向量，且特征值总是$1$

4. 对于置换矩阵，如果只置换了几行且未置换的行中有非零行，那么特征向量是在置换中达成闭环的那几组行内部分别相等的向量，特征值为$1$；反之，特征向量是在置换中达成闭环的那几组行内部分别相等且不全为$0$的向量或者是在置换中达成闭环的那几组行内部分别绝对值相等且不全为$0$且每组行内部正数负数数量一致的向量，二者对应的特征值分别为$1,-1$

5. 求解特征向量和特征值

   变形得：$(A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}$，又$\vec{x}\ne \vec{0}$，所以$A-\lambda I$为一个奇异矩阵，即$|A-\lambda I|=0$，这个方程称作特征（值）方程

   使用特征方程解得$\lambda$，代入原方程可求得$\vec{x}$

   例：$A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$，则$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & 1\\ 1& 3-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda {)}^2-1=0$，解得${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=4$

   ​   $A-{\lambda }_{1}I=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$，此时$\vec{x}$的特解为$\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$，${\lambda }_2$时的特解为$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

   求解$\lambda$相当于求一个一元$n$次方程

   • 代数重数：在一元$n$次方程中某个特征值$\lambda$的重根个数即为它的代数重数

     几何重数：对于某个特征值$\lambda$，$A-\lambda I$的零空间的维数即为它的几何重数

     证明代数重数$\ge$几何重数：

     ​ $暂时不会证明$

6. 上一点中将$A$换为$A^{{}^{\prime }}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，可以解得${\lambda }_1^{{}^{\prime }}=-1,{\lambda }_2^{{}^{\prime }}=1$，发现分别等于${\lambda }_1-3,{\lambda }_2-3$，而特解却没有变，这是因为$A^{{}^{\prime }}=A-3I$，而在求解$\lambda$时想得到奇异矩阵需要减去若干个$I$，所以二者可以变成的奇异矩阵是一致的，因而特解是一样的，而刚开始减了$3I$得到$A^{{}^{\prime }}$，所以最终$\lambda$也要减$3$，用代数式可表示为$(A-3I)\vec{x}=A\vec{x}-3\vec{x}=\lambda \vec{x}-3\vec{x}=(\lambda -3)\vec{x}$

   $3I$的特征值为$3$，可以发现$A$与$3I$差的特征值等于特征值的差，但是这并不适用于任意两个方阵，不过对于任意一个方阵和另一个$aI$，这是成立的

7. 旋转矩阵：与向量相乘后可以使其旋转的矩阵，记作$R$，比如二维向量的旋转矩阵为$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$，可以使一个二维向量逆时针旋转$\theta$的角度

   依几何意义可知旋转矩阵没有实数特征值，只有复数特征值，可以用上一点相同的方法求得

8. $n$阶方阵有$n$个特征值，它们之中有部分可能相等

   证明： 一元$n$次方程有$n$个复数根且可能存在根相等的情况

   迹：方阵主对角线上元素的和

   • 这$n$个特征值的和等于该$n$阶方阵的迹

     证明： 依高次方程的韦达定理得：

     ​    $\begin{array}{rl}{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots {\lambda }_n& =-\frac{a_1}{a_0}\\ & =-\frac{(a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n})(-1{)}^{n-1}}{(-1{)}^n}\\ & =a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n}\end{array}$

   • 这$n$个特征值的积等于该$n$阶方阵的行列式

     证明： 计算$A-\lambda I$的行列式的常数项$a_n$时，如果选取到了主对角线上的元素，那么只需考虑它的常数项，由此可以发现$a_n=|A|$

     ​    依高次方程的韦达定理得：

     ​    $\begin{array}{rl}{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdots {\lambda }_n& =(-1{)}^n\frac{a_n}{a_0}\\ & =(-1{)}^n\frac{|A|}{(-1{)}^n}\\ & =|A|\end{array}$

   • $A$为二阶方阵且有两个复数特征值时这两个特征值为共轭复数

     证明： 设这两个特征值分别为${\lambda }_1=a+bi,{\lambda }_2=c+di$

     ​    因为特征值的和为实数，所以$b+d=0$，又因为特征值的积为实数，即$ac-bd+(ad+bc)i$为实数，所以$ad+bc=ad-cd=0$，因而$a=c$，所以${\lambda }_1,{\lambda }_2$为共轭复数

9. 小技巧

   • 对称矩阵的特征值一定为实数（第$26$讲有证明）

   • 当$\lambda$为一个实方阵的特征值时，$\overline{\lambda }$也为其特征值

     证明： 对于两个复数$x_1=a+bi,x_2=c+di$，它们的共轭复数分别为$\overline{x_1}=a-bi,\overline{x_2}=c-di$

     ​    可以发现$x_1\cdot x_2=ac-bd+(ad+bc)i=\overline{\overline{x_1}\cdot \overline{x_2}}$

     ​ 所以对于$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$可以得到$A\overline{\vec{x}}=\overline{\lambda }\overline{\vec{x}}$，因而当$\lambda$为特征值时，其共轭也为特征值，并且对应的特征向量互为共轭

   • 方阵的特征值与其转置一致

     证明： 设一个方阵$A$，$\lambda$为其特征值的充要条件是$|A-\lambda I|=0$

     ​    所以$|A^T-\lambda I|=|(A-\lambda I{)}^T|=|A-\lambda I|=0$，即$\lambda$也是$A^T$的奇异矩阵

   • 当一个方阵各列元素和均为一个确定值时，这个确定值一定是这个方阵的特征值之一

     证明： 设一个方阵$A$，其各列元素和均为$x$，即证$A-xI$为奇异矩阵

     ​    因为$A$各列元素和均为$x$，所以$A-xI$各列元素和均为$0$，因而各行相加后得到$\vec{0}$，即行向量线性相关，自 然是奇异矩阵

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