群同态
ρ : G 1 ( , ⋅ ) → G 2 ( , ∘ ) g ↦ ρ ( g ) \rho:G_1(\ ,\cdot)\to G_2(\ ,\circ)\\ \qquad\ \ g\mapsto \rho(g) ρ:G1( ,⋅)→G2( ,∘) g↦ρ(g)
∀ g 1 , g 2 ∈ G \forall g_1,g_2\in G ∀g1,g2∈G, 有 ρ ( g 1 ⋅ g 2 ) = ρ ( g 1 ) ∘ ρ ( g 2 ) \rho(g_1\cdot g_2)=\rho(g_1)\circ \rho(g_2) ρ(g1⋅g2)=ρ(g1)∘ρ(g2)成立, 则称 ρ \rho ρ为群同态(映射).
群同态基本定理
设 ρ \rho ρ为一个 G 1 G_1 G1到 G 2 G_2 G2的群同态, 则 Ker ρ \text{Ker}\rho Kerρ是 G G G一个正规子群且
G / Ker ρ ≅ Im ρ . G/\text{Ker}\rho\cong \text{Im}\rho. G/Kerρ≅Imρ.
第二同构定理
H < G H<G H<G, N ⊴ G N\unlhd G N⊴G, 则 H N < G HN<G HN<G, H ∩ N ⊴ H H\cap N\unlhd H H∩N⊴H, 且
ρ : H / H ∩ N ⟶ H N / N h ( H ∩ N ) ⟼ h N \begin{aligned} \rho: H/H\cap N&\longrightarrow HN/N\\ h(H\cap N)&\longmapsto hN \end{aligned} ρ:H/H∩Nh(H∩N)⟶HN/N⟼hN
是一个同构.
证明:
只需证明:
ρ ~ : H ⟶ H N / N h ⟼ h N \begin{aligned} \tilde\rho: H&\longrightarrow HN/N\\ h&\longmapsto hN \end{aligned} ρ~:Hh⟶HN/N⟼hN
ρ ~ \tilde\rho ρ~为满同态, 且 Ker ρ ~ = H ∩ N \text{Ker}\tilde\rho=H\cap N Kerρ~=H∩N.
先证明 H N < G HN<G HN<G, 直接验证集合非空, 满足运算封闭以及有逆元即可.
只需证明 H N = N H HN=NH HN=NH, ( h n ) − 1 = n − 1 h − 1 ∈ N H = H N (hn)^{-1}=n^{-1}h^{-1}\in NH=HN (hn)−1=n−1h−1∈NH=HN, 于是 N ⊴ H N N\unlhd HN N⊴HN, 即 H N / N HN/N HN/N满足.H ∩ N ⊴ H H\cap N\unlhd H H∩N⊴H, ⟺ ∀ h ∈ H , h ( H ∩ N ) h − 1 = H ∩ N \iff \forall h\in H, h(H\cap N)h^{-1}=H\cap N ⟺∀h∈H,h(H∩N)h−1=H∩N, 因为:
( h H h − 1 ) ∩ ( h N h − 1 ) = H ∩ N (hHh^{-1})\cap(hNh^{-1})=H\cap N (hHh−1)∩(hNh−1)=H∩N满同态直接进行运算验证即可.
利用群同态基本定理得到 Ker ρ ~ = H ∩ N \text{Ker}\tilde\rho=H\cap N Kerρ~=H∩N.
循环群结构定理
n n n阶循环群必同构于 ( Z / n Z , + ) (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+) (Z/nZ,+).
有以下群满同态成立:
