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人工智能原理复习–知识表示（二）

推理概述

推理就是按某种策略由已知判断推出另一判断的思维过程

分类：

1. 演绎推理、归纳推理、默认推理
2. 确定推理、不确定推理
3. 单调推理、非单调推理

冲突消解策略：

1. 按就近原则排序
2. 按已知事实的新鲜度排序
3. 按匹配度排序
4. 按领域问题特点排序
5. 按上下文限制排序
6. 按条件个数排序
7. 按规则的次序排序

自然演绎推理

自然演绎推理是指从一组已知的事实出发，直接运用命题逻辑或谓词逻辑中的推理规则推出结论的过程。
推理规则：

1. P规则：在推理的任何步骤上都可引入前提，继续进行推理
2. T规则：推理时，如果前面步骤中有一个或多个公式永真蕴含公式S，则可把S引入推理过程中。
3. 反证法：$P\to Q$当且仅当前真后假的时候时不可满足的
4. 假言推理：如果P为真，$P\to Q$，则Q为真
5. 拒取式推理：如果Q为假， $P\to Q$，则P也为假

注意：避免产生的两类错误：

1. 如果Q为真，那么$P\to Q$, 不能推出P的真值
2. 如果P为假，那么$P\to Q$, 不能推出Q的真假

合适公式

遵从下列递归定义的是合适公式
单一谓词公式是合适公式，使用$\neg 、\wedge 、\vee 、\to 、\leftrightarrow 、\exists 、\forall$后仍是合适公式

合适公式的性质
重点：

1. $P\to Q\iff \neg P\vee Q$
2. 逆否：$P\to Q\iff \neg Q\to \neg P$
3. 摩根定律：$(\neg P\vee \neg Q)\iff \neg (P\wedge Q)$
4. 量词否定：$\neg (\exists x)P(x)\iff (\forall x)(\neg P(x))$任意存在互换同理
5. 量词分配：可以将量词分配到括号里

合适公式的标准化

1. 首先要以量词前束范式来表示合适公式，前束范式就是在前面将变量量词罗列出来，后面括号里没有任何量词的谓词公式。
2. Skolem标准型，在前束范式的基础上，消除存在量词，而拿来保证公式的永假性的函数称为Skolem函数，无参时称为Skolem常量，从一阶逻辑公式变换到Skolem标准型不是等值变换，但是保持永假性。
3. 要求母式（即后面的公式化为合取范式）
   • 消去多余的量词
   • 消去蕴含符号
   • 减少否定的辖域（内移否定符号）
   • 变量标准化（变量换名）（名字相同，辖域不同需要换成不同的名字）
   • 消去存在量词（Skolem变换）
   • 全称量词前束化
   • 消去全称量词
   • 把母式转化为合取范式

消去存在量词方法：

1. 如果$\exists$在$\forall$的辖域内
   $(\forall z)(\exists w)[\neg Q(x,z)\wedge P(z,w)]$
   如果w依赖于z则可以用w = g(z)来定义这种依赖关系，用g(z)来取代约束变量w，消去存在量词 $\exists w$
   $(\forall z)[\neg Q(x,z)\vee P(z,g(z))]$
2. 如果$\exists$在多个$\forall$的辖域内
   $(\forall x)(\forall y)(\forall z)(\exists w)P(x,y,z,w)$
   则用多元函数g(x, y, z)来取代w
   $(\forall x)(\forall y)(\forall z)(\exists w)P(x,y,z,g(x,y,z))$
3. 如果$\exists$在$\forall$的辖域外
   $(\exists w)(\forall z)[\neg Q(x,z)\vee P(z,w)]$
   则用任意的常量来取代w
   $(\exists w)(\forall z)[\neg Q(x,z)\vee P(z,A)]$

实质就是找个已知的东西将存在量词的变量取代掉，在$\forall$辖域内就是Skolem函数，之外就是常量，但是使用的函数不允许重名，同时常量符号也不允许重名。

合取范式就是用合取（$\wedge$）连接，括号内用只能是析取

归结演绎推理

自动定理证明：
一般形式：$F_1\wedge F_2\wedge F_n\Rightarrow W$

反证法：将证明永真改为证明 $F_1\wedge F_2\wedge F_n\wedge \neg W$永假

子句就是仅有析取($\vee$)构成的合适公式
合取范式可定义为子句的合取($\wedge$)


$$合适公式\to 合取范式\to 子句集S$$
其中一个重要的性质：$子句集S的不可满足性\leftrightarrow 合适公式永假$

归结原理

而加入归结式的子句集$S^{\prime }$与原来子句集在不可满足性上式等价的

对子句集的消解规则：

1. 假言推理 $P,\neg P\vee Q\Rightarrow Q$
2. 合并 $P\vee Q,\neg P\vee Q\Rightarrow Q$
3. 重言式 $P\vee Q,\neg P\vee \neg Q\Rightarrow Q\vee \neg Q或者(P\vee \neg P)$注意并不是空
4. 空子句$P,\neg P\Rightarrow NIL$只用一个符号是才为空

子句中的文字知识原子命题公式或其取反，不带变量，这样易于判别那些子句对包含互补文字

子句中含有变量，不能直接发现和消去互补文字，需要对潜在的互补文字先做变量置换和合一处理。
置换项可以是常量、变量或函数 t / v (置换项后 / 源变量) ，置换就是为了让谓词公式的文字同一确定互补性。

但是如果子句集是永真，可满足的那么归结原理将永无休止的进行下去，得不到任何结果

归结反演

将结论取反与公式集合取，然后将这个$F\wedge \neg W$标准为子句，并合并为子句集S

归结反演也可根据归结树的结果提取有效信息

归结反演可实现提取问题回答
回答问题时，目标公式往往受存在量词约束，这是回答提取，就是给出使W(x)为真的x的某个值。
方法就是建立目标子句G(G是要回答问题的取反)的重言式（永真式）$G\vee \neg G$，将这个重言式加入归结演绎过程取代原来的G，这时生成的树是修改证明树，此时树根不再是空子句，而是$\neg G$, G被置换项取代，实现问题回答，这个取代的结果就是回答的结果。

但是重言式中的$\neg G$ （而这个$\neg G就和要回答问题的含义相同$）并不真正参与归结演绎，只是G中的变量在置换时会跟着置换, 所以为了避免在归结反演的过程中误用$\neg G$就用特殊的符号将它代替掉如 Answer($x_1,x_2,...,x_n$)，其中$x_i$为$\neg G$中的变量。

特殊情况：

1. 目标公式也可能会有更复杂的形式，当目标公示取反后的G中有多个合取时，这是将子句分开分别建立重言式寻求答案。
2. 当目标公式中含有全程量词时，取反后G中就有存在量词需要用Skolmn函数，常量消除存在量词。

提升归结效率

为了快速产生空子句有一下策略：

1. 宽度优先搜索
   会归结出许多无用的子句，既浪费时间又浪费空间，但是当问题有解时能找到最短归结路径，他是一种完备的归结策略。对大问题会组合爆炸，但对小问题是较好的归结策略。

2. 支持集策略
   要求每次归结都要有目标公式的否定所得到的子句或它们的后裔，完备的归结策略，虽然会限制子句集元素的剧增，但是会增加空子句所在的深度

3. 删除策略
   在归结过程中把子句集中无用的子句删除掉

   • 纯文字：如果子句集中不存在与其互补的文字可以将这整个子句删掉
     例如 S = { P ∨ Q ∨ R , ¬ Q ∨ R , Q , ¬ R } S = \{ P \lor Q \lor R, \lnot Q \lor R, Q, \lnot R\} S={P∨Q∨R,¬Q∨R,Q,¬R}其中P没有与其互补的可以将$P\vee Q\vee R$删掉
   • 包孕：对于子句C1和C2 如果C1经过置换是C2的子集，就说C1包孕于C2. 将C1删掉对整个子句集的不可满足性没有影响
   • 重言式：如果子句中含有重言式就可以删掉重言式。

   按照这个规则删除的是完备的。

4. 单文字子句策略
   单文字就是子句中只有一个文字，要求每次参与归结至少有一个是单文字，单文字可以有效减少文字数，所以有较高的归结效率，但是这个策略是不完备的，当子句集是不可满足时，不一定可以归结出空子句。

5. 线性输入策略
   要求每次参与归结至少应该有一个是初始子句集的子句，可以提高效率，但是是不完备的。

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未完待续