六、图与网络分析

最大流问题

最大流问题的数学规划模型为：$$\begin{gathered} \max v=f_{12}+f_{13} \\ \{\begin{array}{l}{f}_{12}+f_{13}-f_{57}-f_{67}=0\\ f_{13}+f_{23}=f_{34}+f_{35}\\ ...\\ 0\le f_{ij}\le c_{ij}\end{array} \end{gathered}$$ 第一个约束表示从起点流出的流量等于流入终点的流量；最后一个为容量限制条件；中间的约束为中间点的平衡条件。

满足容量限制条件和平衡条件（起点、终点和中间点）的网络流称为可行流，可行流总是存在的，如零流。

定义网络 $G$ 中的一条初等链 $\mu$（所有顶点均不相同），方向为从起点到终点，若链上有弧与 $\mu$ 方向一致，称为前向弧；若有弧与 $\mu$ 的方向相反，称为后向弧。网络中 $f_{ij}=c_{ij}$ 的弧称为饱和弧，$f_{ij}<c_{ij}$ 的弧称为非饱和弧，$f_{ij}=0$ 的弧称为零流弧。

若某条链中所有前向弧非饱和，后向弧非零，称其为一条增广链。

可行流为最大流的充要条件是不存在增广链。

从起点 $v_s$ 到终点 $v_t$ 的最大流的流量，等于分离 $v_s,v_t$ 的最小截集的容量。

寻找最大流的标号法，称为 2F 算法。可分为两个过程，一是标号过程，二是调整过程。

标号过程先给起点标上 $(0,+\infty )$ ，若在前向弧 $(v_i,v_j)$ 上，$f_{ij}<c_{ij}$ ，则给 $v_j$ 标号 $(v_s,l(v_j))$ ，其中 l ( v j ) = min ⁡ { l ( v i ) , c i j − f i j } l(v_j)=\min\{l(v_i),c_{ij}-f_{ij}\} l(vj​)=min{l(vi​),cij​−fij​} ；若在后向弧 $(v_j,v_i)$ 上，$f_{ij}>0$ ，则给 $v_j$ 标号 $(-v_i,l(v_j))$ ，其中 l ( ( v j ) = min ⁡ { l ( v i ) , f i j } l((v_j)=\min\{l(v_i),f_{ij}\} l((vj​)=min{l(vi​),fij​} 。

调整过程的调整量为终点的标号，令前向弧加上这个调整量，后向弧减去这个调整量。

当出现有多个收发点时，可以虚拟一个总发点和总收点或把所有收发点看成一个整体，先解决外部的流量分配，再解决整体内部的流量分配。当网络为无向图时，可以考虑用枚举法用最小截求最大流。标准的最大流问题应只有弧有容量限制，当出现某个节点也有容量限制时，应进行转换，将其分为两个节点 $\lambda ,\mu$ 。原来流入的弧全部连接到 $\lambda$ ，原来流出的点全部从 $\mu$ 节点流出。

最小费用流

链的费用为链中前向弧的费用减去后向弧的费用。所有增广链中费用最小的链称为最小费用增广链。

定理：若 $f$ 是流量为 $V(f)$ 的最小费用流，$\mu$ 是关于 $f$ 的从 $v_s$ 到 $v_t$ 的一条最小费用增广链，则 $f$ 经过 $\mu$ 调整流量后得到新的可行流 $f^{\prime }$ ，$f^{\prime }$ 一定是流量为 $V(f)+\theta$ 的可行流中的最小费用流。

因此我们可以从某个初始的最小费用可行流（一般为零流）开始，寻找最小费用增广链，然后按照最大流的标号法，不断调整到目标流量。

初始的可行流好找，题目给了就用题目的，没给就用零流。那最小费用增广链怎么找？如果把每条弧的费用看成权，这就相当于求起点到终点的最短路。但是由于增广链中可能还有后向弧，无法直接利用最短路算法，因此需要构造一个有向网络 $L(f)$ 。

构造的方法为：顶点仍然是原网络中的顶点，原来的每条弧变成两个方向相反的弧，正向弧如果非饱和，权重为费用 $w_{ij}$ ，否则为无穷；后向弧如果非零，权重为 $-w_{ij}$ ，否则为无穷。而权重为无穷的弧我们一般会省略。

根据初始可行流，我们构造一个网络，找起终点的最短路，在这条最小费用增广链上按照最大流算法调整，得到新流。根据新流又可以构造网络，如此循环。当出现找不到最短路时，说明已经达到最大流，如果此时的流量仍然小于目标流量，说明不存在流量为目标流量的最小费用流。

最小费用最大流

此时没有目标流量的要求，因此要一直寻找最短路，直到找不到为止。