基本不等式

基本齐次不等式

• 设$a,b\in \mathbb{R}$,则$a^2+b^2⩾2ab$,当且仅当$a=b$时等号成立
• 证明:
  • $a^2+b^2⩾2ab$ $\iff$ $a^2+b^2-2ab⩾0$ $\iff (a-b{)}^2⩾0$
  • 最后一个不等式的成立表明了基本不等式的成立

一次形式👺

• $a^2+b^2⩾2ab$ $\iff$ ${\sqrt{a}}^2+{\sqrt{b}}^2⩾2\sqrt{ab}$,即$a+b⩾2\sqrt{ab}$

基本不等式

• 基本不等式(平均值不等式):若$a,b>0$,则$\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时等号成立

• 证明:

  • 方法0:

    • $a^2+b^2⩾2ab$ $\iff$ ${\sqrt{a}}^2+{\sqrt{b}}^2⩾2\sqrt{ab}$ $\iff$ $a+b⩾2\sqrt{ab}$ $\iff$ $\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$

  • 方法1:

    • $\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$ $\iff$ $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{1}{2}(a+b-2\sqrt{ab})⩾0$ $\iff$ $\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2⩾0$
    • 最后一个不等式显然成立,同时证明了原不等式成立

  • 方法2:

    • 本方法对基本不等式两边同时加上$2ab$项
    • $a^2+b^2⩾2ab$ $\iff$ $a^2+b^2+2ab⩾4ab$ $\iff$ $(a+b{)}^2⩾4ab$ $\iff$ $a+b⩾2\sqrt{ab}$ $\iff$ $\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$

• 这个不等式中,$\frac{a+b}{2}$称为算数平均值;$\sqrt{ab}$称为几何平均值

• 基本不等式是证明许多不等式的出发点,因此称为基本不等式

拓展

拓展1

• 定理:若$a,b,c>0$,$a^3+b^3+c^3⩾3abc$,当且仅当$a=b=c$时等号成立
• 证明:
  • 需要用到:
    • $a^3+b^3+c^3-3abc$=$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
    • $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$=$\frac{1}{2}[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2]$ $⩾0$
  • $a^3+b^3+c^3⩾3abc$ $\iff$ $a^3+b^3+c^3-3abc⩾0$ $\iff$ $\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2]$ $⩾0$
  • 最后一个不等式的成立证明了本定理

拓展2

• 定理:若$a,b,c>0$,则$\frac{a+b+c}{3}⩾\sqrt[3]{abc}$,当且仅当$a=b=c$时等号成立
• 证明:
  • $\frac{a+b+c}{3}⩾\sqrt[3]{abc}$ $\iff$ $\frac{(\sqrt[3]{a}{)}^3+(\sqrt[3]{b}{)}^3+(\sqrt[3]{c}{)}^3}{3}⩾\sqrt[3]{abc}$ $\iff$ $(\sqrt[3]{a}{)}^3+(\sqrt[3]{b}{)}^3+(\sqrt[3]{c}{)}^3⩾3\sqrt[3]{abc}$ $\iff$ $\frac{a+b+c}{3}⩾\sqrt[3]{abc}$

算数平均数和几何平均数不等式

• 对于$n$个正数,可以定义它们的算数平均数$\overline{p}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{a}_i$和几何平均数$q=\sqrt[n]{{\prod }_{i=1}^n{a}_i}$,那么有$p⩾q$;当且仅当$a_1=a_2=\cdots =a_n$时等号成立

应用

• 所有面积为1的矩形中,正方形拥有最小周长
• 设矩形的长宽分别为$a,b$,且$ab=1$,周长$C=2(a+b)$
  • 根据基本不等式:$\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$,即$2(a+b)⩾4\sqrt{ab}$,所以$C⩾4$,当且仅当$a=b$时,取等号(最小值)
  • 所以正方形拥有最小周长,这个最小值为4

恒等变形

• 两边同时$+(a^2+b^2)$,可以推得$\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

• 更加推广的,由均值不等式链:从小到大口诀调几算方

  • $$\begin{gathered} \frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}⩽\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}⩽\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i⩽\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x_i}^2}{n}} \\ n\frac{1}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}⩽\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}⩽\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i⩽\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x_i}^2} \end{gathered}$$

双勾函数不等式

• 对勾函数 (wikipedia.org)

• 在数学中，对勾函数，又名双勾函数、耐克函数、对号函数，

• 表达式形式:$f(x)=ax+\frac{b}{x}$,$ab⩾0$

  • 函数定义域为$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$
  • 值域为$(-\infty ,-2\sqrt{ab}]\cup [2\sqrt{ab},\infty )$
  • 其图像是分别以$y$轴和$y=ax$为渐近线的两支双曲线。
  • 当$a\ge 0,b\ge 0$时，其图像在第一象限形状就是个像耐克的品牌徽标一样，因此得名耐克函数。

• Note:若$ab<0$,则$f(x)$的单调性要简单的多,在定义域范围内,单调性都是一致的,尽管$f(x)$不连续

• 典型对勾函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$($a=b=1$)

• 一次项作1:作恒等变形:$f(x)=ax+\frac{b}{x}=a(x+\frac{b/a}{x})$

  • 问题转换为对$t(x)=x+\frac{\lambda }{x}$,其中$\lambda >0$的讨论
  • 而$f(x)=a\cdot t(x)$,可知,$a>0$于$a<0$时具有相反的单调性

导数

• $f^{\prime }(x)=a-b{x}^{-2}$
• 令$f^{\prime }(x)=0$,$x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}}$
• 结合$f(x)$的定义域$(x\ne 0)$,划分4个区间讨论单调性:
  • $(-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{a}}]$
  • $[-\sqrt{\frac{b}{a}},0)$
  • $(0,\sqrt{\frac{b}{a}}]$
  • $[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty )$
• 结合$ab$与0的大小关系,需要讨论两边上述区间内的单调性

函数单调性🎈

• $a,b>0$时
  • 在$\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]$单调递增,$\left[-\sqrt{\frac{b}{a}},0\right)$单调递减，
  • 在$\left(0,\sqrt{\frac{b}{a}}\right]$单调递减,$\left[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty \right)$单调递增。
• $a,b<0$时
  • 在$\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]$单调递减,$\left[-\sqrt{\frac{b}{a}},0\right)$单调递增，
  • 在$\left(0,\sqrt{\frac{b}{a}}\right])单调递增，$$\left[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty \right)$单调递减。

求解过程

• 设$a,b>0$,$x<-\sqrt{\frac{b}{a}}<0$,求$y=a-b{x}^{-2}$和0的大小关系

  • $y$中包含了负指数,考虑先判断$x^{-2}$的大小;
  • 由$x<-\sqrt{\frac{b}{a}}<0$得$-x>\sqrt{\frac{b}{a}}>0$(转换到正数范围更便于讨论)
  • 由正数范围内不等式负整数次方性质:$(-x{)}^{-2}<(\sqrt{\frac{b}{a}}{)}^{-2}$化简即$x^{-2}<(\frac{b}{a}{)}^{-1}=\frac{a}{b}$
  • 对上面的不等式两边乘以$-b<0$,得$-b{x}^{-2}>-a$,再在两边加上$a$,得$a-b{x}^{-2}>0$
  • 即$y>0$
  • 这就是说,$x\in (-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{a}}]$内函数$f(x),(a,b>0)$单调递增

• 类似得,可以分别求的余下的集中情况

极值点和极值

• 由上述分析,极值点在$x=\pm \sqrt{\frac{b}{a}}$
• $f(\sqrt{\frac{b}{a}})=a\sqrt{\frac{b}{a}}+\frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}}$=$\sqrt{\frac{a^{2}b}{a}}+\sqrt{ab}=2\sqrt{ab}$
• $f(-\sqrt{\frac{b}{a}})$=$-2\sqrt{ab}$
• 以典型的$f(x)=x+\frac{1}{x}$为例,其两个顶点分别是$(1,2),(-1,-2)$
• 在$x>0$的范围内,可以联系基本不等式:$x+\frac{1}{x}⩾2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$,取等条件是$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1$,取正数范围内正跟($x=1$)

函数单调性的简单证明🎈

• 对$f(x)=x+\frac{a}{x}(a>0)$，

• 潜在的极值点$\pm \sqrt{\frac{a}{1}}=\pm \sqrt{a}$变为

• 任取$0<x_1<x_2⩽\sqrt{a}$，则有

  • $$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2<0\\ 0<x_1{x}_2<a\end{array}$$

• $\therefore f(x_1)-f(x_2)=x_1+\frac{a}{x_1}-x_2-\frac{a}{x_2}$

  • =$\frac{(x_1-x_2)(x_1\cdot x_2-a)}{x_1\cdot x_2}>0$，即$f(x_1)>f(x_2)$

• $\therefore f(x)$在$(0,\sqrt{a}])$上单调递减。

• 同理$f(x)$在$[\sqrt{a},+\infty )$上单调递增；

• 在$(-\infty ,-\sqrt{a}])$上单调递增；$\left[-\sqrt{a},0\right)$上单调递减。