一、前言

最近打算出一个背包问题的专栏，详细介绍一下常见的几种不同类型的背包问题及其解题思路和方法，欢迎各位留言探讨。

二、什么是背包问题？

背包问题是动态规划中的一个分支，其目标是在给定的一组物品中选择一些物品放入背包，使得在满足背包容量限制的情况下，所选物品的总价值最大化或总重量最小化。背包问题大致可以分为9类，本章讲解的是01背包问题。

三、01背包

3.1 问题描述

有n个物品和一个容量为capacity的背包，每种物品只有一件，他们的体积分别为weights[i](0<=i<n)，价值分别为values[i](0<=i<n)，求将哪些物品装入背包可使价值总和最大？

3.2 解体思路

3.2.1 确定状态变量（函数）

最大价值是物品数量i与背包容量j的函数，设dp[i][j]表示从前i件物品中进行选择，放入容量为j的背包所能获得的最大价值

3.2.2 确定状态转移方程（递推关系）

对于第i个物品(第1个物品为weights[0]，第i个物品为weights[i-1])的选择情况如下：

• 1.如果当前背包剩余容量j<weights[i-1]，则无法将该物品装入背包，此时最大价值与从前i-1个物品选择，放入容量为j的背包所能获得的最大价值相同

  dp[i][j] = dp[i-1][j]
  

• 2.如果当前背包剩余容量j>=weights[i-1]，则能放入第i件物品，但是需要判断放入该物品与不放入时哪种情况所能取到的价值最大。
  如果第i件物品不放入背包

  dp[i][j] = dp[i-1][j]
  

  如果第i件物品放入背包，背包剩余容量为j-weights[i-1]，要使总价值最大，相当于从前i-1个物品中进行选择，放入容量为j-weights[i]的背包的最大价值再加上第i件物品的价值values[i-1]

  dp[i][j] = dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]
  

3.2.3 确定边界条件

• 当背包容量为0时，无法放入任何物品到背包中，总价值为0，即dp[i][0]=0 (0<=i<=n)
• 当不放入任何物品到背包中时，总价值也为0，即dp[0][j]=0(0<=j<=n)

3.2.4 代码示例

/*** 背包问题-背包9讲*/
public class KnapsackQuestion {/*** 01背包** @param weights  存储n件物品重量的数组，weights[i-1]表示第i件物品的重量(下标从0开始)* @param values   存储n件物品价值的数组，values[i-1]表示第i件物品的价值* @param capacity 背包的容量* @return 从n件物品中进行选择，放入容量为capacity的背包中所能取得的最大价值*/public int knapsack01(int[] weights, int[] values, int capacity) {// dp[i][j]表示从前i件物品中选择，放入容量为j的背包的最大价值int n = weights.length;int[][] dp = new int[n + 1][capacity + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= capacity; j++) {if (j >= weights[i - 1]) {dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}return dp[n][capacity];}