第十三章利用PCA简化数据

PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）是一种常用的降维技术，用于将高维数据集转换为低维的表示，同时保留尽可能多的数据信息。它的主要原理是通过线性变换将原始数据投影到一个新的坐标系中，使得数据在新坐标系下的方差最大化。这样，数据的主要特征就能够通过少数几个主成分来表示，从而达到降维的效果。

13.1降维技术

对数据进⾏简化还有如下⼀系列的原因：

使得数据集更易使⽤；
降低很多算法的计算开销；
去除噪声；
使得结果易懂

常见的降维技术：

主成分分析（PCA）：在PCA中，数据从原来的坐标系转换到了新的坐标系，新坐标系的选择是由数据本身决定的。第⼀个新坐标轴选择的是原始数据中⽅差最⼤的⽅向，第二个新坐标轴的选择和第⼀个坐标轴正交且具有最⼤⽅差的⽅向。该过程⼀直重复，重复次数为原始数据中特征的数⽬。我们会发现，⼤部分⽅差都包含在最前⾯的⼏个新坐标轴中。
因⼦分析（Factor Analysis）。在因⼦分析中，我们假设在观察数据的⽣成中有⼀些观察不到的隐变量（latent variable）。假设观察数据是这些隐变量和某些噪声的线性组合。那么隐变量的数据可能⽐观察数据的数⽬少，也就是说通过找到隐变量就可以实现数据的降维。因⼦分析已经应⽤于社会科学、⾦融和其他领域中了。
独⽴成分分析（Independent Component Analysis，ICA）。ICA假设数据是从N个数据源⽣成的，这⼀点和因⼦分析有些类似。假设数据为多个数据源的混合观察结果，这些数据源之间在统计上是相互独⽴的，⽽在PCA中只假设数据是不相关的。同因⼦分析⼀样，如果数据源的数⽬少于观察数据的数⽬，则可以实现降维过程。

13.2PCA

主成分分析

优点：降低数据的复杂性，识别最重要的多个特征。
缺点：不⼀定需要，且可能损失有⽤信息。

适⽤数据类型：数值型数据。

13.2.1移动坐标轴

考虑下图，要求画出一条直线，尽可能覆盖这些点。

在这里插入图片描述

在PCA中，我们对数据的坐标进⾏了旋转，该旋转的过程取决于数据的本⾝。第⼀条坐标轴旋转到覆盖数据的最⼤⽅差位置，即下图中的红直线

在这里插入图片描述

在选择了覆盖数据最⼤差异性的坐标轴之后，我们选择了第二条坐标轴。假如该坐标轴与第⼀条坐标轴正交，它就是覆盖数据次大差异性的坐标轴。如下图

在这里插入图片描述

考察下图，其中的数据来⾃于上⾯的图并经PCA转换之后绘制⽽成的。如果仅使⽤原始数据，那么这⾥的间隔会⽐决策树的间隔更⼤。另外，由于只需要考虑⼀维信息，因此数据就可以通过⽐SVM简单得多的很容易采⽤的规则进⾏区分。

在这里插入图片描述

13.2.2在NumPy中实现PCA

加载数据集

from numpy import *
import numpy as npdef loadDataSet(fileName, delim='\t'):fr = open(fileName)stringArr = [line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]datArr = [list(map(float, line)) for line in stringArr]return mat(datArr)

dataMat = loadDataSet('13testSet.txt')
dataMat

matrix([[10.235186, 11.321997],[10.122339, 11.810993],[ 9.190236,  8.904943],...,[ 9.854922,  9.201393],[ 9.11458 ,  9.134215],[10.334899,  8.543604]])

PCA过程：

去除平均值
计算协方差矩阵
计算协方差矩阵的特征值和特征向量
将特征值从大到小排序
保留最上⾯的N个特征向量
将数据转换到上述N个特征向量构建的新空间中

def pca(datMat, topNfeat=9999999):meanVals = datMat.mean(0)meanRemoved = datMat - meanVals  # 1. 去除平均值covMat = cov(meanRemoved, rowvar=0)  # 2. 计算协⽅差矩阵eigVals, eigVects = linalg.eig(mat(covMat))  # 3. 计算协⽅差矩阵的特征值和特征向量eigValInd = argsort(eigVals)            # 4. 将特征值从⼤到⼩排序eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]  # 保留topNfeat个维度redEigVects = eigVects[:, eigValInd]  # 5. 保留最上⾯的N个特征向量lowDDataMat = meanRemoved * redEigVects  # 6. 将数据转换到上述N个特征向量构建的新空间中reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanValsreturn lowDDataMat, reconMat

显示部分PCA数据

lowDMat, reconMat = pca(dataMat, 1)
print('lowDMat',lowDMat[:3,:])
print('reconMat',reconMat[:3,:])

lowDMat [[-2.51033597][-2.86915379][ 0.09741085]]
reconMat [[10.37044569 11.23955536][10.55719313 11.54594665][ 9.01323877  9.01282393]]

进行数据可视化：

展示原始所有数据dataMat
绘制第一坐标轴reconMat

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(dataMat[:, 0].flatten().A[0], dataMat[:, 1].flatten().A[0], marker='^', s=90)
ax.scatter(reconMat[:, 0].flatten().A[0], reconMat[:, 1].flatten().A[0], marker='o', s=50, c='red')plt.show()

在这里插入图片描述

13.3利用PCA对半导体制造数据降维

dataMat = loadDataSet('13secom.data',' ')
print(shape(dataMat))
print(dataMat[20:24,:4])

(1567, 590)
[[2987.32   2528.81         nan       nan][      nan 2481.85   2207.3889  962.5317][3002.27   2497.45   2207.3889  962.5317][2884.74   2514.54   2160.3667  899.9488]]

可以看出数据量1567，和数据维度590

其中，数据中有NaN数据需要处理，接下来处理NaN数据

def replaceNanWithMean(dataMat): numFeat = shape(dataMat)[1]for i in range(numFeat):meanVal = mean(dataMat[nonzero(~isnan(dataMat[:,i].A))[0],i]) #values that are not NaN (a number)dataMat[nonzero(isnan(dataMat[:,i].A))[0],i] = meanVal  #set NaN values to meanreturn dataMat
dataMat=replaceNanWithMean(dataMat)
print(dataMat[20:24,:4])

[[2987.32       2528.81       2200.54731771 1396.37662737][3014.45289558 2481.85       2207.3889      962.5317    ][3002.27       2497.45       2207.3889      962.5317    ][2884.74       2514.54       2160.3667      899.9488    ]]

可以看到NaN已经处理为了平均值

计算特征值


meanVals = dataMat.mean(0)
meanRemoved = dataMat - meanVals  # 1. 去除平均值
covMat = cov(meanRemoved, rowvar=0)  # 2. 计算协⽅差矩阵
eigVals, eigVects = linalg.eig(mat(covMat))  # 3. 计算协⽅差矩阵的特征值和特征向量
eigVals = sort(eigVals)            # 4. 将特征值从⼤到⼩排序
print(eigVals)

[-1.77898285e-16 -6.91541208e-19  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+00  0.00000000e+000.00000000e+00  0.00000000e+00  6.06554565e-18  9.84684997e-164.76825507e-15  1.80003664e-10  1.97062976e-10  2.61901629e-105.27591520e-10  6.13351286e-10  6.95078509e-10  9.24977925e-10
...1.25591691e+03  1.33096008e+03  1.53948465e+03  1.66199683e+031.70492093e+03  1.76741826e+03  1.86414157e+03  2.16835314e+032.35027999e+03  2.74523635e+03  3.24193522e+03  3.41199406e+034.10673182e+03  4.23060022e+03  4.95614671e+03  5.34196392e+037.22765535e+03  8.34665462e+03  9.48876548e+03  1.04841308e+041.09321187e+04  1.44089194e+04  1.47123429e+04  2.67385181e+043.31436743e+04  3.55294040e+04  4.15532551e+04  4.41914029e+044.54661746e+04  5.03324580e+04  5.16269933e+04  5.96776503e+046.52620058e+04  6.66060410e+04  7.76560524e+04  8.15850591e+048.33473762e+04  1.00166164e+05  1.02849533e+05  1.08493848e+051.13215032e+05  1.52422354e+05  1.86856549e+05  1.96098849e+052.08513836e+05  2.37155830e+05  2.83668601e+05  2.90863555e+054.67693557e+05  1.31540439e+06  2.07388086e+06  8.24837662e+062.17466719e+07  5.34151979e+07]

其中有大量特征值都是0。这就意味着这些特征都是其他特征的副本，也就是说，它们可以通过其他特征来表示，而本身并没有提供额外的信息

我们可以尝试不同的截断值来检验它们的性能。有些人使用能包含90%信息量的主成分数量，而其他人使用前20个主成分。我们无法精确知道所需要的主成分数目，必须通过在实验中取不同的值来确定。有效的主成分数目则取决于数据集和具体应用。
上述分析能够得到所用到的主成分数目，然后我们可以将该数目输入到PCA算法中（如lowDMat, reconMat = pca(dataMat，20)），最后得到约简后数据就可以在分类器中使用了。