路程——【考频：高】——【解题提示：根据题意画图，找等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。】
【
应用题 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 路程 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 直线 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 匀速、相遇、追及、变速
⟹ \Longrightarrow ⟹ 相遇 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 往返相遇 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 同向往返相遇两人的路程和为： S 路程和 = 2 n S S_{路程和}=2nS S路程和=2nS；反向往返相遇两人的路程和为： S 路程和 = ( 2 n − 1 ) S S_{路程和}=(2n-1)S S路程和=(2n−1)S ⟹ \Longrightarrow ⟹ 反向第一次相遇是单S，其余同同向一致双S
⟹ \Longrightarrow ⟹ 追及
⟹ \Longrightarrow ⟹ 匀速
⟹ \Longrightarrow ⟹ 变速。
应用题 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 路程 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 圆圈 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 相遇 ⟹ \Longrightarrow ⟹同向同起点、反向同起点
⟹ \Longrightarrow ⟹ 同向起点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 同向相遇一次需要快的比慢的多跑一圈 ⟹ \Longrightarrow ⟹ S 快 − S 慢 = S 圆圈 S_快-S_慢=S_{圆圈} S快−S慢=S圆圈 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 同向“路程差”为一圈
⟹ \Longrightarrow ⟹ 反向起点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 反向相遇一次需要两者共跑一圈 ⟹ \Longrightarrow ⟹ S 快 + S 慢 = S 圆圈 S_快+S_慢=S_{圆圈} S快+S慢=S圆圈 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 反向“路程和”为一圈
】
可以按照直线、圆圈分类，也可以按照相遇追及分类
一、直线路程——【匀速、相遇、追及、变速】——【直线型路程：
相遇： S 相遇 = S 甲 + S 乙 = ( v 甲 + v 乙 ) t S_{相遇}=S_甲+S_乙=(v_甲+v_乙)t S相遇=S甲+S乙=(v甲+v乙)t；
追及： S 追及 = S 甲 − S 乙 = ( v 甲 − v 乙 ) t S_{追及}=S_甲-S_乙=(v_甲-v_乙)t S追及=S甲−S乙=(v甲−v乙)t】
1.直线匀速
基本公式： s = v t ， v = s t ， t = s v s=vt，v=\frac{s}{t}，t=\frac{s}{v} s=vt，v=ts，t=vs，即： 路程 s = 速度 v × 时间 t ， 路程s=速度v×时间t， 路程s=速度v×时间t， 速度 v = 路程 s 时间 t ， 速度v=\frac{路程s}{时间t}， 速度v=时间t路程s， 时间 t = 路程 s 速度 v 时间t=\frac{路程s}{速度v} 时间t=速度v路程s
解题提示：根据题意画出简单的示意图，设未知数列方程求解，同时注意路程、时间、速度三者中的恒定量，将问题转化为比例关系求解。
注：行程问题中常用的比例关系：
① 时间相同时，速度比等于路程比；
② 速度相同时，时间比等于路程比；
③ 路程相同时，速度比等于时间的反比。
平均速度：——【歌诀记忆法：求平均速度：时间相等求算术，路程相等求调和】
解题方法：
（1）当行驶两段路程所花的时间相等时，总路程的平均速度为两段路程各自平均速度的算术平均值，即 v ˉ = v 1 t + v 2 t 2 t = v 1 + v 2 2 \bar{v}=\frac{v_1t+v_2t}{2t}=\frac{v_1+v_2}{2} vˉ=2tv1t+v2t=2v1+v2——【往返时间相同，则平均速度为往返速度的算术平均值： v ‾ = v 1 + v 2 2 \overline{ v}=\frac{v_1+v_2}{2} v=2v1+v2 】
（2）当两段路程相等时(每段路程为s)，总路程的平均速度为两段路程各自平均速度的调和平均值，即 v ˉ = 2 s s v 1 + s v 2 = 2 1 v 1 + 1 v 2 = 2 v 1 v 2 v 1 + v 2 \bar{v}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} vˉ=v1s+v2s2s=v11+v212=v1+v22v1v2——【往返路程相同，则平均速度为往返速度的调和平均值： v ‾ = 2 v 1 v 2 v 1 + v 2 \overline{ v}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} v=v1+v22v1v2 】
上坡下坡：当两段路程相等时（每段路程为S），平均速度为两段路各自平均速度的调和平均值，即 v − = 2 S S v 1 + S v 2 = 2 1 v 1 + 1 v 2 = 2 v 1 v 2 v 1 + v 2 v^-=\frac{2S}{\frac{S}{v_1}+\frac{S}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} v−=v1S+v2S2S=v11+v212=v1+v22v1v2——【】
2.直线相遇
问题表述：甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行，在C点相遇会合。
基本公式： S 相遇 = S 1 + S 2 = v 1 t + v 2 t = ( v 1 + v 2 ) t S_{相遇}=S_1+S_2=v_1t+v_2t=(v_1+v_2)t S相遇=S1+S2=v1t+v2t=(v1+v2)t
等量关系： S 甲 + S 乙 = S A B ⇒ ( V 甲 + V 乙 ) t = S A B ， V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = A C B C ( 时间相同 ) S_甲+S_乙=S_{AB}\Rightarrow(V_甲+V_乙)t=S_{AB}，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AC}{BC}(时间相同) S甲+S乙=SAB⇒(V甲+V乙)t=SAB，V乙V甲=S乙S甲=BCAC(时间相同)
往返相遇：多次往返相遇问题的技巧是抓住“路程和”来建立等量关系或寻找比例关系。假设相遇次数为n次，两地距离为S，两人分别从两地相向而行，则第一次相遇时，两人路程之和为S，相遇时间为t；以后每相遇一次，两人路程之和增加2S ，相遇时间增加 2t。
（1）同向往返相遇两人的路程和为： S 路程和 = 2 n S S_{路程和}=2nS S路程和=2nS；
（2）反向往返相遇两人的路程和为： S 路程和 = ( 2 n − 1 ) S S_{路程和}=(2n-1)S S路程和=(2n−1)S。——【两人分别从两地相/反向而行，则第一次相遇时，两人路程之和为S，相遇时间为t；以后每相遇一次，两人路程之和增加2S ，相遇时间增加 2t。】
——【歌诀记忆法：
同向往返相遇两人的路程和为： S 路程和 = 2 n S S_{路程和}=2nS S路程和=2nS；
反向往返相遇两人的路程和为： S 路程和 = ( 2 n − 1 ) S S_{路程和}=(2n-1)S S路程和=(2n−1)S。】——【反向第一次相遇是单S，其余同同向一致双S】
3.直线追及
问题表述：甲、乙相距AC时甲追赶乙，并最终在B点追上乙。
基本公式： S 追及 = S 1 − S 2 = v 1 t − v 2 t = ( v 1 − v 2 ) t S_{追及}=S_1-S_2=v_1t-v_2t=(v_1-v_2)t S追及=S1−S2=v1t−v2t=(v1−v2)t
等量关系： S 甲 − S 乙 = S A C ⇒ ( V 甲 − V 乙 ) t = S A C ， V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = A B B C ( 时间相同 ) S_甲-S_乙=S_{AC}\Rightarrow(V_甲-V_乙)t=S_{AC}，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AB}{BC}(时间相同) S甲−S乙=SAC⇒(V甲−V乙)t=SAC，V乙V甲=S乙S甲=BCAB(时间相同)——【】
4.直线变速：——【变速乘积=；好像设未知数比记公式更有性价比】
基本公式： v 1 v 2 = s ⋅ △ v △ t v_1v_2=\frac{s·△v}{△t} v1v2=△ts⋅△v——【推导：设同一段路程s，先后用 v 1 ， v 2 v_1，v_2 v1，v2两段速度通过，时间差为△t ，则 s v 1 − s v 2 = △ t ⇒ s ( v 2 − v 1 ) v 1 v 2 = △ t ⇒ s ⋅ △ v v 1 v 2 = △ t \frac{s}{v_1}-\frac{s}{v_2}=△t\Rightarrow\frac{s(v_2-v_1)}{v_1v_2}=△t\Rightarrow\frac{s·△v}{v_1v_2}=△t v1s−v2s=△t⇒v1v2s(v2−v1)=△t⇒v1v2s⋅△v=△t，即 v 1 v 2 = s ⋅ △ v △ t v_1v_2=\frac{s·△v}{△t} v1v2=△ts⋅△v】
二、圆圈路程——【歌诀记忆法：同向同起点时“路程差”为一圈，反向同起点时“路程和”为一圈；起点相遇找速度比；不同起点第一次相遇和追及当成直线型，第二次开始当成“同起点”的跑圈问题。】——【同乡通气查一圈；反向通气喝一圈】
1.同向同起点：同一起点出发，顺时针方向跑，第一次在B点遇上（ V 甲 ＞ V 乙 V_甲＞V_乙 V甲＞V乙）。
等量关系： S 甲 − S 乙 = S S_甲-S_乙=S S甲−S乙=S（假设甲的速度较快，经历时间相同）——【甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈】
甲 、乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若n次相遇，则有 S 甲 − S 乙 = n S ， V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = S 乙 + n S S 乙 = 1 + n S S 乙 S_甲-S_乙=nS，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{S_乙+nS}{S_乙}=1+\frac{nS}{S_乙} S甲−S乙=nS，V乙V甲=S乙S甲=S乙S乙+nS=1+S乙nS
2.反向同起点：同一起点出发，相反方向跑，第一次在B点遇上（ V 甲 ＞ V 乙 V_甲＞V_乙 V甲＞V乙）。
等量关系： S 甲 + S 乙 = S S_甲+S_乙=S S甲+S乙=S——【每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈】
每次相遇，甲、乙的路程之和为一圈，若相遇n次，则有 S 甲 ＋ S 乙 = n S ， V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = n S − S 乙 S 乙 = n S S 乙 − 1 S_甲＋S_乙=nS，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS-S_乙}{S_乙}=\frac{nS}{S_乙}-1 S甲＋S乙=nS，V乙V甲=S乙S甲=S乙nS−S乙=S乙nS−1
解题技巧：在做圆圈型追及相遇问题时，求第k次相遇情况，可以将（k-1）次相遇看成起点进行分析考虑。
环形跑道：当起点相同时，有同向运动，每相遇一次，路程差增加一圈；反向运动，每相遇一次，路程和增加一圈。——【】
（or：按照“相遇追赶分类”
相遇、追赶题型
1 直线型相遇、追赶——【直线型路程：
相遇： S 相遇 = S 甲 + S 乙 = ( v 甲 + v 乙 ) t S_{相遇}=S_甲+S_乙=(v_甲+v_乙)t S相遇=S甲+S乙=(v甲+v乙)t；
追及： S 追及 = S 甲 − S 乙 = ( v 甲 − v 乙 ) t S_{追及}=S_甲-S_乙=(v_甲-v_乙)t S追及=S甲−S乙=(v甲−v乙)t】
【解题提示】此类问题比较常见，根据题意画出简单示意图，抓住等量关系（一般是时间和路程），列方程求解。
（1）同时相向而行
问题表述：甲、乙两人同时分别从A、B两地相向而行，在C点相遇会合。
等量关系： S 甲 + S 乙 = S A B ⇒ ( V 甲 + V 乙 ) t = S A B ， V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = A C B C ( 时间相同 ) S_甲+S_乙=S_{AB}\Rightarrow(V_甲+V_乙)t=S_{AB}，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AC}{BC}(时间相同) S甲+S乙=SAB⇒(V甲+V乙)t=SAB，V乙V甲=S乙S甲=BCAC(时间相同)
（2）追赶问题
问题表述：甲、乙相距AC时甲追赶乙，并最终在B点追上乙。
等量关系： S 甲 − S 乙 = S A C ⇒ ( V 甲 − V 乙 ) t = S A C ， V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = A B B C ( 时间相同 ) S_甲-S_乙=S_{AC}\Rightarrow(V_甲-V_乙)t=S_{AC}，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{AB}{BC}(时间相同) S甲−S乙=SAC⇒(V甲−V乙)t=SAC，V乙V甲=S乙S甲=BCAB(时间相同)——【】
2.圆圈型（操场）相遇、追赶——【圆圈型路程：
同向运动：同一起点出发，顺时针方向跑，第一次在B点遇上（ V 甲 ＞ V 乙 V_甲＞V_乙 V甲＞V乙）。等量关系（经历时间相同）： S 甲 − S 乙 = S S_甲-S_乙=S S甲−S乙=S。甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若相遇n次，则有 S 甲 − S 乙 = n S ； S 甲 S 乙 = n S + S 乙 S 乙 S_甲-S_乙=nS；\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS+S_乙}{S_乙} S甲−S乙=nS；S乙S甲=S乙nS+S乙。
逆向运动：同一起点出发，相反方向跑，第一次在B点遇上。等量关系： S 甲 + S 乙 = S S_甲+S_乙=S S甲+S乙=S。甲乙每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈，若相遇n次，则有 S 甲 + S 乙 = n S ； V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = n S − S 乙 S 乙 S_甲+S_乙=nS；\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS-S_乙}{S_乙} S甲+S乙=nS；V乙V甲=S乙S甲=S乙nS−S乙】
（1）同向（设圆周长为S）
等量关系： S 甲 − S 乙 = S S_甲-S_乙=S S甲−S乙=S（假设甲的速度较快）
甲 、乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若n次相遇，则有 S 甲 − S 乙 = n S ， V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = S 乙 + n S S 乙 S_甲-S_乙=nS，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{S_乙+nS}{S_乙} S甲−S乙=nS，V乙V甲=S乙S甲=S乙S乙+nS
（2）逆向
等量关系： S 甲 + S 乙 = S S_甲+S_乙=S S甲+S乙=S
每次相遇，甲、乙的路程之和为一圈，若相遇n次，则有 S 甲 ＋ S 乙 = n S ， V 甲 V 乙 = S 甲 S 乙 = n S − S 乙 S 乙 S_甲＋S_乙=nS，\frac{V_甲}{V_乙}=\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{nS-S_乙}{S_乙} S甲＋S乙=nS，V乙V甲=S乙S甲=S乙nS−S乙
【解题技巧】在做圆圈型追及相遇问题时，求第k次相遇情况，可以将（k-1）次相遇看成起点进行分析考虑。
）
变速路程
1.同一路程变速
思路：解决同一路程变速问题的常用方法有：
（1）方程组法；（2）比例法；（3）法宝公式法；（4）等面积法；（5）假设法
其中，法宝公式法： v 1 v 2 = s ⋅ △ v △ t v_1v_2=\frac{s·△v}{△t} v1v2=△ts⋅△v——【推导证明：设同一段路程s，先后用 v 1 ， v 2 v_1，v_2 v1，v2两段速度通过，时间差为△t ，则 s v 1 − s v 2 = △ t ⇒ s ( v 2 − v 1 ) v 1 v 2 = △ t ⇒ s ⋅ △ v v 1 v 2 = △ t \frac{s}{v_1}-\frac{s}{v_2}=△t\Rightarrow\frac{s(v_2-v_1)}{v_1v_2}=△t\Rightarrow\frac{s·△v}{v_1v_2}=△t v1s−v2s=△t⇒v1v2s(v2−v1)=△t⇒v1v2s⋅△v=△t，即 v 1 v 2 = s ⋅ △ v △ t v_1v_2=\frac{s·△v}{△t} v1v2=△ts⋅△v】
2.不同路程变速
思路：对于不同路程的变速问题，通常要用假设转化的方法找到比例，达到化简的目的。
相对速度：同向而行，相对速度= ∣ V 甲 − V 乙 ∣ |V_甲-V_乙| ∣V甲−V乙∣；相向而行，相对速度= V 甲 + V 乙 V_甲+V_乙 V甲+V乙。当出现多个物体同时运动时，将某个物体看成“静止”的，当作参照物，利用相对速度分析，如队伍行军，火车与行人，发车间隔。
水上航行：——【特别提醒：水中掉落物体（漂浮）时，从落水到发现与从发现到找到的时间相同！】
船顺流时速度： v 顺 = v 船 + v 水 v_顺=v_船+v_水 v顺=v船+v水
船逆流时速度： v 逆 = v 船 − v 水 v_逆=v_船-v_水 v逆=v船−v水
逆水行船时：实际速度为： V 逆水 = V 船 − V 水 V_{逆水}=V_{船}-V_{水} V逆水=V船−V水
顺水行船时：实际速度为： V 顺水 = V 船 + V 水 V_{顺水}=V_{船}+V_{水} V顺水=V船+V水
静水行船速度：静水速度=船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，即： V 船 = V 顺水 + V 逆水 2 V_{船}=\frac{V_{顺水}+V_{逆水}}{2} V船=2V顺水+V逆水
水流速：水速=（顺水速度-逆水速度）÷2，即： V 水 = V 顺水 − V 逆水 2 V_{水}=\frac{V_{顺水}-V_{逆水}}{2} V水=2V顺水−V逆水
火车错车/过桥过洞——【】
相向错车： t = 车长之和 l 1 + l 2 速度之和 v 1 + v 2 t=\frac{车长之和l_1+l_2}{速度之和v_1+v_2} t=速度之和v1+v2车长之和l1+l2
同向超车： t = 车长之和 l 1 + l 2 速度之差 v 1 − v 2 t=\frac{车长之和l_1+l_2}{速度之差v_1-v_2} t=速度之差v1−v2车长之和l1+l2
火车过桥/过山洞： t = l 山洞 / 桥梁 + l 火车 v t=\frac{l_{山洞/桥梁}+l_{火车}}{v} t=vl山洞/桥梁+l火车
