数据结构–时间复杂度与空间复杂度

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时间复杂度

一、什么是时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有程序在机器上跑起来，才能知道，但是如果所有的算法都需要在机器上运行起来去测试时间复杂度就会很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式，一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

二、具体实例

1.大O的渐进表示法

代码如下（示例）：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N ; ++ i){for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

F(N) = N^2 + 2*N + 10 这是++count的具体运行次数，但是对于大O的渐进表示法，在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项，所以Func1的时间复杂度应为：O(N^2)

// 计算Func2的时间复杂度？> void Func2(int N)
> {
> 	int count = 0;
> 	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
> 	{
> 		++count;
> 	}
> 
> 	int M = 10;
> 	while (M--)
> 	{
> 		++count;
> 	}
> 
> 	printf("%d\n", count);
> }

Func2(N) = 2*N + 10 这是++count的具体运行次数，但是对于大O的渐进表示法，如果最高阶项存在，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。所以Func2的时间复杂度为：O(N)

> // 计算Func4的时间复杂度？
> void Func4(int N)
> {
> 	int count = 0;
> 	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
> 	{
> 		++count;
> 	}
> 	printf("%d\n", count);
> }

Func4的时间复杂度是常数次，所以统一使用O(1)来表示，1不是指一次，而是指常数次

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return Fib(N-1) + Fib(N-2）
return 1;
);
}

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次 ，时间复杂度为O(2^N)

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

2.二分查找的时间复杂度

代码如下（示例）：

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n - 1;// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end - begin) >> 1);if (a[mid] < x)begin = mid + 1;else if (a[mid] > x)end = mid - 1;elsereturn mid;}return -1;
}

最坏情况就是：区间缩放到一个值时，要么找到，要么找不到，假设N是数组个数，X是最坏查找次数：
N/2/2/2/…/2 = 1
折半查找多少次就除多少个2
用数学表达式应为：2^X = N
则时间复杂度应为

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空间复杂度

一、什么是空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

二、具体实例

代码如下（示例）：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

1. 冒泡排序算法里面的数组属于本身就存在的，不是临时创建的，是因为有数组存在，有排序的需求，才会有这个排序算法。
2. 临时占用存储空间的大小指的是创建额外的空间
3. 这个代码里面临时创建了 n ；end；exchange；i；常数个变量，所以是O(1)。

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)return NULL;long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}

1. 这个数组就是额外开辟的，为了计算斐波那契数列而开辟的，所以空间复杂度就是O(N)。

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

1. 递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

总结

1. 计算时间复杂度最好的办法就是画图，数循环次数很容易出错误
2. 常见的复杂度
   
3. 复杂度的变化速率