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1. 前言

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哈希表或称为散列表，是一种常见的、使用频率非常高的数据存储方案。

哈希表属于抽象数据结构，需要开发者按哈希表数据结构的存储要求进行API定制，对于大部分高级语言而言，都会提供已经实现好的、可直接使用的API，如JAVA中有MAP集合、C++中的MAP容器，Python中的字典……

使用者可以使用API中的方法完成对哈希表的增、删、改、查……一系列操作。

如何学习哈希表？

可以从2个角度开始：

• 使用者角度：只需要知道哈希表是基于键、值对存储的解决方案，另需要熟悉不同计算机语言提供的基于哈希表数据结构的 API实现，学会使用 API中的方法。
• 开发者的角度：则需要知道哈希表底层实现原理，以及实现过程中需要解决的各种问题。本文将站在开发者的角度，带着大家一起探究哈希的世界。

2. 哈希表

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什么是哈希表？

哈希表是基于键、值对存储的数据结构，底层一般采用的是列表(数组)。

大家都知道，基于列表（数组）的查询速度非常快，时间复杂度是O（1），常量级别的。

列表的底层存储结构是连续的内存区域，只要给定数据在列表（数组）中的位置，就能直接查询到数据。理论上是这么回事，但在实际操作过程，查询数据的时间复杂度却不一定是常量级别的。

如存储下面的学生信息，学生信息包括学生的姓名和学号。在存储学生数据时，如果把学号为0的学生存储在列表0位置，学号为1的学生存储在列表1位置……

这里把学生的学号和列表的索引号进行关联，查询某一个学生时，知道了学生的学号也就知道了学生数据存储在列表中的位置，可以认为查询的时间复杂度为O(1)。

之所以可以达到常量级，是因为这里有信息关联（学生学号关联到数据的存储位置）。

还有一点，学生的学号是公开信息也是常用信息，很容易获取。

但是，不是存储任何数据时，都可以找到与列表位置相关联的信息。比如存储所有的英文单词，不可能为每一个英文单词编号，即使编号了，编号在这里也仅仅是流水号，没有数据含义的数据对于使用者来讲是不友好，谁也无法记住哪个英文单词对应哪个编号。

所以使用列表存储英文单词后需要询时，因没有单词的存储位置。还是需要使用如线性、二分……之类的查询算法，这时的时间复杂度由使用的查询算法的时间复杂度决定。

如果对上述存储在列表的学生信息进行了插入、删除……等操作，改变了数据原来的位置后，因破坏了学号与位置关联信息，再查询时也只能使用其它查询算法，不可能达到常量级。

是否存在一种方案，能最大化地优化数据的存储和查询？

通过上述的分析，可以得出一个结论，要提高查询的速度，得想办法把数据与位置进行关联。而哈希表的核心思想便是如此。

2.1 哈希函数

哈希表引入了关键字概念，关键字可以认为是数据的别名。如上表，可以给每一个学生起一个别名，这个就是关键字。

Tip： 这里的关键字是姓名的拼音缩写，关键字和数据的关联性较强，方便记忆和查询。

有了关键字后，再把关键字映射成列表中的一个有效位置，映射方法就是哈希表中最重要的概念哈希函数。

关键字是一个桥梁，即关联到真正数据又关联到哈希表中的位置。

关键字也可以是需要保存的数据本身。

哈希函数的功能：提供把关键字映射到列表中的位置算法，是哈希表存储数据的核心所在。如下图，演示数据、哈希函数、哈希表之间的关系，可以说哈希函数是数据进入哈希表的入口。

数据最终会存储在列表中的哪一个位置，完全由哈希算法决定。

当需要查询学生数据时，同样需要调用哈希函数对关键字进行换算，计算出数据在列表中的位置后就能很容易查询到数据。

如果忽视哈希函数的时间复杂度，基于哈希表的数据存储和查询时间复杂度是 O(1)。

如此说来哈希函数算法设计的优劣是影响哈希表性能的关键所在。

2.2 哈希算法

哈希算法决定了数据的最终存储位置，不同的哈希算法设计方案，也关乎哈希表的整体性能，所以，哈希算法就变得的尤为重要。

下文将介绍并纵横比较几种常见的 哈希算法的设计方案。

**Tip：**无论使用何种哈希算法，都有一个根本，哈希后的结果一定是一个数字，表示列表（哈希表）中的一个有效位置。也称为哈希值。

使用哈希表存储数据时，关键字可以是数字类型也可以是非数字类型，其实，关键字可以是任何一种类型。这里先讨论当关键字为非数字类型时设计哈希算法的基本思路。

如前所述，已经为每一个学生提供了一个以姓名的拼音缩写的关键字。

现在如何把关键字映射到列表的一个有效位置？

这里可以简单地把拼音看成英文中的字母，先分别计算每一个字母在字母表中的位置，然后相加，得到的一个数字。

使用上面的哈希思想对每一个学生的关键字进行哈希：

• zjl的哈希值为 26+10+12=48。
• llj的哈希值为 12+12+10=34。
• cl 的哈希值为 3+12=15。
• zxy的哈希值为 26+25+24=75。

前文说过哈希值是表示数据在列表中的存储位置，现在假设一种理想化状态，学生的姓名都是3个汉字，意味着关键字也是3个字母，采用上面的的哈希算法，最大的哈希值应该是zzz=26+26+26=78，意味着至少应该提供一个长度为78的列表 。

如果，现在仅仅只保存4名学生，虽然只有4名学生，因无法保证学生的关键字不出现zzz，所以列表长度还是需要78。如下图所示。

采用这种哈希算法会导致列表的空间浪费严重，最直观想法是对哈希值再做约束，如除以4再取余数，把哈希值限制在4之内，4个数据对应4个哈希值。我们称这种取余数方案为取余数算法。

取余数法中，被除数一般选择小于哈希表长度的素数。本文介绍其它哈希算法时，也会使用取余数法对哈希值进行适当范围的收缩。

重新对 4 名学生的关键字进行哈希。

• zjl的哈希值为 26+10+12=48，48 除以 4 取余数，结果是0。
• llj的哈希值为 12+12+10=34，34 除以 4 取余数，结果是2。
• cl 的哈希值为 3+12=15，15 除以 4 取余数，结果是3。
• zzz的哈希值为 26+26+26=78，78 除以 4 取余数，结果是2。

演示图上出现了一个很奇怪的现象，没有看到李连杰的存储信息。

4个存储位置存储4学生，应该是刚刚好，但是，只存储了3名学生。且还有1个位置是空闲的。现在编码验证一下，看是不是人为因素引起的。

'''
哈希函数
'''
def hash\_code(key):# 设置字母 A 的在字母表中的位置是 1pos = 0for i in key:i = i.lower()res = ord(i) - ord('a') + 1pos += resreturn pos % 4

测试代码：

\# 哈希表
hash\_table = \[None\] \* 4
# 计算关键字的哈希值
idx = hash\_code('zjl')
# 根据关键字换算出来的位置存储数据
hash\_table\[idx\] = '周杰伦'
idx = hash\_code('llj')
hash\_table\[idx\] = '李连杰'
idx = hash\_code('cl')
hash\_table\[idx\] = '成龙'
idx = hash\_code('zzz')
hash\_table\[idx\] = '张志忠'
print('哈希表中的数据：', hash\_table)
'''
输出结果：
哈希表中的数据： \['周杰伦', None, '张志忠', '成龙'\]
'''

执行代码，输出结果，依然还是没有看到李连杰的信息。

原因何在？

这是因为李连杰和张志忠的哈希值都是2 ，导致在存储时，后面存储的数据会覆盖前面存储的数据，这就是哈希中的典型问题，哈希冲突问题。

所谓哈希冲突，指不同的关键字在进行哈希算法后得到相同的哈希值，这意味着，不同关键字所对应的数据会存储在同一个位置，这肯定会发生数据丢失，所以需要提供算法，解决冲突问题。

Tip： 研究哈希表，归根结底，是研究如何计算哈希值以及如何解决哈希值冲突的问题。

针对上面的问题，有一种想当然的冲突解决方案，扩展列表的存储长度，如把列表扩展到长度为8。

直观思维是：扩展列表长度，哈希值的范围会增加，冲突的可能性会降低。

'''
哈希函数
'''
def hash\_code(key):# 设置字母 A 的在字母表中的位置是 1pos = 0for i in key:i = i.lower()res = ord(i) - ord('a') + 1pos += resreturn pos % 8# 哈希表
hash\_table = \[None\] \* 8# 保存所有学生
idx = hash\_code('zjl')
hash\_table\[idx\] = '周杰伦'
idx = hash\_code('llj')
hash\_table\[idx\] = '李连杰'
idx = hash\_code('cl')
hash\_table\[idx\] = '成龙'
idx = hash\_code('zzz')
hash\_table\[idx\] = '张志忠'
print('哈希表中的数据：', hash\_table)
'''
输出结果：
哈希表中的数据： \['周杰伦', None, '李连杰', None, None, None, '张志忠', '成龙'\]
'''

貌似解决了冲突问题，其实不然，当试着设置列表的长度为6、7、8、9、10时，只有当长度为8时没有发生冲突，这还是在要存储的数据是已知情况下的尝试。

如果数据是动态变化的，显然这种扩展长度的方案绝对不是本质解决冲突的方案。即不能解决冲突，且产生大量空间浪费。

如何解决哈希冲突，会在后文详细介绍，这里还是回到哈希算法上。

综上所述，我们对哈希算法的理想要求是：

• 为每一个关键字生成一个唯一的哈希值，保证每一个数据都有只属于自己的存储位置。
• 哈希算法的性能时间复杂度要低。

现实情况是，同时满足这2个条件的哈希算法几乎是不可能有的，面对数据量较多时，哈希冲突是常态。所以，只能是尽可能满足。

因冲突的存在，即使为 100 个数据提供 100 个有效存储空间，还是会有空间闲置。这里把实际使用空间和列表提供的有效空间相除，得到的结果，称之为哈希表的占有率（载荷因子）。

如上述，当列表长度为 4时， 占有率为 3/4=0.75，当列表长度为 8 时，占有率为 4/8=0.5，一般要求占率控制 在0.6~0.9之间。

2.3 常见哈希算法

前面在介绍什么是哈希算法时，提到了取余数法，除此之外，还有几种常见的哈希算法。

2.3.1 折叠法

折叠法：将关键字分割成位数相同的几个部分（最后一部分的位数可以不同）然后取这几部分的叠加和（舍去进位）作为哈希值。

折叠法又分移位叠加和间界叠加。

• 移位叠加：将分割后的每一部分的最低位对齐，然后相加。
• 间界叠加：从一端沿分割线来回折叠，然后对齐相加。

因有相加求和计算，折叠法适合数字类型或能转换成数字类型的关键字。假设现在有很多商品订单信息，为了简化问题，订单只包括订单编号和订单金额。

现在使用用哈希表存储订单数据，且以订单编号为关键字，订单金额为值。

订单编号	订单金额
20201011	400.00
19981112	300.00
20221212	200

移位叠法换算关键字的思路：

**第一步：**把订单编号20201011按每3位一组分割，分割后的结果：202、010、11。

按2位一组还是3位一组进行分割，可以根据实际情况决定。

第二步： 把分割后的数字相加202+010+11，得到结果：223。再使用取余数法，如果哈希表的长度为10，则除以10后的余数为3。

这里除以10仅是为了简化问题细节，具体操作时，很少选择列表的长度。

**第三步：**对其它的关键字采用相同的处理方案。

关键字	哈希值
20201011	3
19981112	2
20221212	6

编码实现保存商品订单信息：

'''
移位叠加哈希算法
'''
def hash\_code(key, hash\_table\_size):# 转换成字符串key\_s = str(key)# 保存求和结果s = 0# 使用切片for i in range(0, len(key\_s), 3):s += int(key\_s\[i:i + 3\])return s % hash\_table\_size# 商品信息
products = \[\[20201011, 400.00\], \[19981112, 300\], \[20221212, 200\]\]
# 哈希表长度
hash\_size = 10
# 哈希表
hash\_table = \[None\] \* hash\_size
# 以哈希表方式进行存储
for p in products:key = hash\_code(p\[0\], hash\_size)hash\_table\[key\] = p\[1\]
# 显示哈希表中的数据
print("哈希表中的数据：",hash\_table)
# 根据订单号进行查询
hash\_val = hash\_code(19981112, hash\_size)
val = hash\_table\[hash\_val\]
print("订单号为{0}的金额为{1}".format(19981112, val))
'''
输出结果
哈希表中的数据： \[None, None, 300, 400.0, None, None, 200, None, None, None\]
订单号为19981112的金额为300
'''

间界叠加法：

间界叠加法，会间隔地把要相加的数字进行反转。

如订单编号19981112 按3位一组分割，分割后的结果：199、811、12，间界叠加操作求和表达式为199+118+12=339，再把结果339%10=9。

编码实现间界叠加算法：

'''
间界叠加哈希算法
'''
def hash\_code(key, hash\_table\_size):# 转换成字符串key\_s = str(key)# 保存求和结果s = 0# 使用切片for i in range(0, len(key\_s), 3):# 切片tmp\_s = key\_s\[i:i + 3\]# 反转if i % 2 != 0:tmp\_s = tmp\_s\[::-1\]s += int(tmp\_s)return s % hash\_table\_size# 商品信息（数据样例）
products = \[\[20201011, 400.00\], \[19981112, 300\], \[20221212, 200\]\]
# 哈希表长度
hash\_size = 10
# 哈希表
hash\_table = \[None\] \* hash\_size
# 以哈希表方式进行存储
for p in products:key = hash\_code(p\[0\], hash\_size)hash\_table\[key\] = p\[1\]
# 显示哈希表中的数据
print("哈希表中的数据：", hash\_table)
# 根据订单号进行查询
hash\_val = hash\_code(19981112, hash\_size)
val = hash\_table\[hash\_val\]
print("订单号为{0}的金额为{1}".format(19981112, val))
'''
输出结果：
哈希表中的数据： \[None, None, None, 400.0, None, None, 200, None, None, 300\]
订单号为19981112的金额为300
'''

2.3.2 平方取中法

平方取中法：先是对关键字求平方，再在结果中取中间位置的数字。

求平方再取中算法，是一种较常见的哈希算法，从数学公式可知，求平方后得到的中间几位数字与关键字的每一位都有关，取中法能让最后计算出来的哈希值更均匀。

因要对关键字求平方，关键字只能是数字或能转换成数字的类型，至于关键字本身的大小范围限制，要根据使用的计算机语言灵活设置。

如下面的图书数据，图书包括图书编号和图书名称。现在需要使用哈希表保存图书信息，以图书编号为关键字，图书名称为值。

图书编号	图书名称
58	python 从入门到精通
67	C++ STL
78	Java 内存模型

使用平方取中法计算关键字的哈希值：

**第一步：**对图书编号58求平方，结果为3364。

第二步：取3364的中间值36，然后再使用取余数方案。如果哈希表的长度为10，则36%10=6。

**第三步：**对其它的关键字采用相同的计算方案。

编码实现平方取中算法：

'''
哈希算法
平方取中
'''
def hash\_code(key, hash\_table\_size):# 求平方res = key \*\* 2#  取中间值，这里取中间 2 位（简化问题）res = int(str(res)\[1:3\])# 取余数return res % hash\_table\_sizehash\_table\_size = 10
hash\_table = \[None\]\*hash\_table\_size
# 图书信息
books = \[\[58, "python 从入门到精通"\], \[67, "C++ STL"\], \[78, "Java 内存模型"\]\]
for b in books:hash\_val = hash\_code(b\[0\],hash\_table\_size)hash\_table\[hash\_val\]=b\[1\]# 显示哈希表中的数据
print("哈希表中的数据：", hash\_table)
# 根据编号进行查询
hash\_val = hash\_code(67, hash\_table\_size)
val = hash\_table\[hash\_val\]
print("编号为{0}的书名为{1}".format(67, val))

上述求平方取中间值的算法仅针对于本文提供的图书数据，如果需要算法具有通用性，则需要根据实际情况修改。

不要被 取中的中字所迷惑，不一定是绝对中间位置的数字。

2.3.3 直接地址法

直接地址法：提供一个与关键字相关联的线性函数。如针对上述图书数据，可以提供线性函数f(k)=2*key+10。

系数2和常数10的选择会影响最终生成的哈希值的大小。可以根据哈希表的大小和操作的数据含义自行选择。

key为图书编号。当关键字不相同时，使用线性函数得到的值也是唯一的，所以，不会产生哈希冲突，但是会要求哈希表的存储长度比实际数据要大。

这种算法在实际应用中并不多见。

实际应用时，具体选择何种哈希算法，完全由开发者定夺，哈希算法的选择没有固定模式可循，虽然上面介绍了几种算法，只是提供一种算法思路。

2.4 哈希冲突

哈希冲突是怎么引起的，前文已经说过。现在聊聊常见的几种哈希冲突解决方案。

2.4.1 线性探测

当发生哈希冲突后，会在冲突位置之后寻找一个可用的空位置。如下图所示，使用取余数哈希算法，保存数据到哈希表中。

哈希表的长度设置为 15，除数设置为 13。

解决冲突的流程：

• 78和26的哈希值都是 0。而因为78在26的前面，78先占据哈希表的 0位置。
• 当存储 26时，只能以 0位置为起始位置，向后寻找空位置，因 1位置没有被其它数据占据，最终保存在哈希表的1位置。
• 当存储数字 14时，通过哈希算法计算，其哈希值是1，本应该要保存在哈希表中1的位置，因1位置已经被26所占据，只能向后寻找空位置，最终落脚在2位置。

线性探测法让发生哈希冲突的数据保存在其它数据的哈希位置，如果冲突的数据较多，则占据的本应该属于其它数据的哈希位置也较多，这种现象称为哈希聚集。

查询流程：

以查询数据14为例。

• 计算 14的哈希值，得到值为 1 ，根据哈希值在哈希表中找到对应位置。
• 查看对应位置是否存在数据，如果不存在，宣告查询失败，如果存在，则需要提供数据比较方法。
• 因 1位置的数据 26并不等于14。于是，继续向后搜索，并逐一比较。
• 最终可以得到结论14在哈希表的编号为2的位置。

所以，在查询过程中，除了要提供哈希函数，还需要提供数据比较函数。

删除流程：

以删除数字26为例。

按上述的查询流程找到数字26在哈希表中的位置1。

设置位置1为删除状态，一定要标注此位置曾经保存过数据，而不能设置为空状态。为什么？

如果设置为空状态，则在查询数字14时，会产生错误的返回结果，会认为14不存在。为什么？自己想想。

编码实现线性探测法：

添加数据：

'''
线性探测法解决哈希冲突
'''
def hash\_code(key, hash\_table, num):# 哈希表的长度size = len(hash\_table)# 取余数法计算哈希值hash\_val = key % num# 检查此位置是否已经保存其它数据if hash\_table\[hash\_val\] is not None:# 则从hash\_val 之后寻找空位置for i in range(hash\_val + 1, size + hash\_val):if i >= size:i = i % sizeif hash\_table\[i\] is None:hash\_val = ibreakreturn hash\_val# 哈希表
hash\_table = \[None\] \* 15
src\_nums = \[25, 78, 56, 32, 88, 26, 73, 81, 14\]
for n in src\_nums:hash\_val = hash\_code(n, hash\_table, 13)hash\_table\[hash\_val\] = nprint("哈希表中的数据：", hash\_table)
'''
输出结果：
哈希表中的数据： \[78, 26, 14, 81, 56, None, 32, None, 73, None, 88, None, 25, None, None\]
'''

**Tip：**为了保证当哈希值发生冲突后，如果从冲突位置查到哈希表的结束位置还是没有找到空位置，则再从哈希表的起始位置，也就是0位置再搜索到冲突位置。冲突位置是起点也是终点，构建一个查找逻辑环，以保证一定能找到空位置。

for i in range(hash\_val + 1, size + hash\_val):pass

基于线性探测的数据查询过程和存储过程大致相同：

def get(key, hash\_table, num):# 哈希表的长度size = len(hash\_table)# 取余数法计算哈希值hash\_val = key % numis\_exist = False# 检查此位置是否已经保存其它数据if hash\_table\[hash\_val\] is None:# 不存在return Noneif hash\_table\[hash\_val\] != key:# 则从hash\_val 之后寻找空位置for i in range(hash\_val + 1, size + hash\_val):if i >= size:i = i % sizeif hash\_table\[i\] == key:hash\_val = iis\_exist = Truebreakelse:is\_exist=Trueif is\_exist:return hash\_val# 测试   
res = get(25, hash\_table, 13)
print(res)

为了减少数据聚集，可以采用增量线性探测法，所谓增量指当发生哈希冲突后，探测空位置时，使用步长值大于1的方式跳跃式向前查找。目的是让数据分布均匀，减小数据聚集。

除了采用增量探测之外，还可以使用再哈希的方案。也就是提供2个哈希函数，第1次哈希值发生冲突后，再调用第2个哈希函数再哈希，直到冲突不再产生。这种方案会增加计算时间。

2.4.2 链表法

上面所述的冲突解决方案的核心思想是，当冲突发生后，在哈希表中再查找一个有效空位置。

这种方案的优势是不会产生额外的存储空间，但易产生数据聚集，会让数据的存储不均衡，并且会违背初衷，通过关键字计算出来的哈希值并不能准确描述数据正确位置。

链表法应该是所有解决哈希冲突中较完美的方案。所谓链表法，指当发生哈希冲突后，以冲突位置为首结点构建一条链表，以链表方式保存所有发生冲突的数据。如下图所示：

链表方案解决冲突，无论在存储、查询、删除时都不会影响其它数据位置的独立性和唯一性，且因链表的操作速度较快，对于哈希表的整体性能都有较好改善。

使用链表法时，哈希表中保存的是链表的首结点。首结点可以保存数据也可以不保存数据。

编码实现链表法：链表实现需要定义 2 个类，1 个是结点类，1 个是哈希类。

'''
结点类
'''
class HashNode():def \_\_init\_\_(self, value):self.value = valueself.next\_node = None'''
哈希类
'''
class HashTable():def \_\_init\_\_(self):# 哈希表,初始大小为 15，可以根据需要动态修改self.table = \[None\] \* 15# 实际数据大小self.size = 0'''存储数据key:关键字value:值'''def put(self, key, value):hash\_val = self.hash\_code(key)# 新结点new\_node = HashNode(value)if self.table\[hash\_val\] is None:# 本代码采用首结点保存数据方案self.table\[hash\_val\] = new\_nodeself.size+=1else:move = self.table\[hash\_val\]while move.next\_node is not None:move = move.next\_nodemove.next\_node = new\_nodeself.size+=1'''查询数据'''def get(self, key):hash\_val = self.hash\_code(key)if self.table\[hash\_val\] is None:# 数据不存在return -1if self.table\[hash\_val\].value == key:# 首结点就是要找的数据return self.table\[hash\_val\].value# 移动指针move = self.table\[hash\_val\].next\_nodewhile move.value != key and move is not None:move = move.next\_nodeif move is None:return -1else:return move.valuedef hash\_code(self, key):# 这里仅为说明问题，13 的选择是固定的hash\_val = key % 13return hash\_val# 原始数据
src\_nums = \[25, 78, 56, 32, 88, 26, 39, 82, 14\]
# 哈希对象
hash\_table = HashTable()
# 把数据添加到哈希表中
for n in src\_nums:hash\_table.put(n, n)
# 输出哈希表中的首结点数据
for i in hash\_table.table:if i is not None:print(i.value,end=" ")
print("\\n-------------查询-----------")
print(hash\_table.get(26))
'''
输出结果：
78 14 56 32 88 25 
-------------查询-----------
26
'''

3.总结

哈希表是一种高级数据结构，其存储、查询性能非常好，在不考虑哈希哈希算法和哈希冲突的时间复杂度情况下，哈希查找时间复杂度可以达到常量级，成为很多实际应用场景下的首选。

研究哈希表，着重点就是搞清楚哈希算法以及如何解决哈希冲突。在算法的世界时，没有固定的模式，开发者可以根据自己的需要自行设计哈希算法。

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