【考研数学】数学一“背诵”手册(一)| 高数部分(2)

文章目录

  • 引言
  • 一、高数
    • 级数
    • 空间解析几何
    • 球坐标变换公式
    • 零碎公式
  • 写在最后


引言

高数一篇文章还是写不太下,再分一些到这里来吧


一、高数

级数

阿贝尔定理:若级数 ∑ a n x n \sum a_nx^n anxn x = x 0 x=x_0 x=x0 时收敛,则适合不等式 ∣ x ∣ < ∣ x 0 ∣ |x|<|x_0| x<x0 的一切 x x x 都使得该幂级数绝对收敛;反之,若级数 ∑ a n x n \sum a_nx^n anxn x = x 0 x=x_0 x=x0 时发散,则适合不等式 ∣ x ∣ > ∣ x 0 ∣ |x|>|x_0| x>x0 的一切 x x x 都使得该幂级数发散。

注意,阿贝尔定理未给出 x = − x 0 x=-x_0 x=x0 时的敛散性,而且最后算收敛域时的两个端点要单独判定。当已知一个幂级数在某点处收敛时,就可以得到一个收敛范围。

对于缺项的幂级数,如 ∑ a n x 2 n − 1 \sum a_nx^{2n-1} anx2n1 ,一般把幂级数的一般项看成常数项级数 u n = a n x 2 n − 1 u_n=a_nx^{2n-1} un=anx2n1 ,然后根据比值判别法 ∣ u n + 1 / u n ∣ < 1 |u_{n+1}/u_n|<1 un+1/un<1 计算出收敛半径。

幂级数 ∑ a n x n \sum a_nx^n anxn 的收敛半径 R R R 的计算方法为: lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ = ρ , o r lim ⁡ n → ∞ ∣ a n ∣ n = ρ \lim_{n\to\infty}\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\rho,or\space \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho nlim anan+1 =ρ,or nlimnan =ρ R = { 1 / ρ , ρ ≠ 0 , + ∞ + ∞ , ρ = 0 0 , ρ = + ∞ R=\begin{cases} 1/\rho&,\rho\ne0,+\infty \\ +\infty&,\rho=0 \\ 0&,\rho=+\infty\end{cases} R= 1/ρ+0,ρ=0,+,ρ=0,ρ=+ 区间 ( − R , R ) (-R,R) (R,R) 称为幂级数的收敛区间,一定是开区间,而收敛域有可能有闭有开。

在这里插入图片描述

空间解析几何

1. 平面

平面的一般式方程: A x + B y + C z = D Ax+By+Cz=D Ax+By+Cz=D ,其中 n → = { A , B , C } \overrightarrow{n}=\{A,B,C\} n ={A,B,C} 为法向量。点法式为平面上找一点,截距式为三轴交点,三点式为找三点,用叉乘求出法向量。

2. 空间直线

一般式方程是两个平面交线,对称式是找一点和方向向量,还有参数式。

M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) M_1(x_1,y_1,z_1) M1(x1,y1,z1) 到空间直线 L : ( x − x 0 ) / m = ( y − y 0 ) / n = ( z − z 0 ) / p L:(x-x_0)/m=(y-y_0)/n=(z-z_0)/p L:(xx0)/m=(yy0)/n=(zz0)/p 的距离公式: d = ∣ s × M 1 M 0 → ∣ ∣ s ∣ d=\frac{|s\times\overrightarrow{M_1M_0}|}{|s|} d=ss×M1M0 其中, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , s = ( m , n , p ) M_0(x_0,y_0,z_0),s=(m,n,p) M0(x0,y0,z0),s=(m,n,p)

P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0) 到平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0 的距离为 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2 Ax0+By0+Cz0

球坐标变换公式

r r r 表示几何体上一点到原点距离,从原点引一条射线看范围; θ \theta θ 表示 r r r x O y xOy xOy 平面的投影直线与 x x x 轴正向的夹角,范围是 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π] φ \varphi φ 表示和 z z z 轴正向夹角,范围是 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] ,想象喇叭开花。

变换公式为 { x = r cos ⁡ θ sin ⁡ φ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ z = r cos ⁡ φ , d x d y d z = r 2 sin ⁡ φ d r d θ d φ . \begin{cases} x=r\cos\theta \sin\varphi\\ y=r\sin \theta \sin\varphi \\ z=r\cos\varphi\end{cases},dxdydz=r^2\sin\varphi \space drd\theta d\varphi. x=rcosθsinφy=rsinθsinφz=rcosφ,dxdydz=r2sinφ drdθdφ.

零碎公式

关于 sec ⁡ x , csc ⁡ x \sec x,\csc x secx,cscx 的不定积分: ∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ sec ⁡ x + tan ⁡ x ∣ + C , ∫ csc ⁡ x d x = ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ + C \int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C,\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C secxdx=lnsecx+tanx+C,cscxdx=lncscxcotx+C


写在最后

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