matlab进阶:求解在约束条件下的多元目标函数最值(fmincon函数详解)

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文章目录

  • 💧 fmincon函数说明
    • 目标优化问题的基本形式
    • fmincon语法和参数
  • 💧 算例实战
    • 初始解x0的设定
    • 线性等式和不等式约束
    • 非线性等式和不等式约束
    • 含有求和公式目标函数

💧 fmincon函数说明

Matlab 的 fmincon 函数:寻找约束非线性多变量函数的最小值

适用于:

  • 线性函数
  • 非线性函数
  • 线性等式和不等式约束
  • 非线性等式和不等式约束

目标优化问题的基本形式

min ⁡ f ( x ) \min f(x) minf(x)

s . t . { A ⋅ x ≤ b A e q ⋅ x = B e q l b ≤ x ≤ u b c ( x ) ≤ 0 c e q ( x ) = 0 s.t. \begin{cases} A \cdot x \leq b \\ Aeq \cdot x = Beq \\ lb \leq x \leq ub \\ c(x) \leq 0 \\ ceq(x) = 0 \end{cases} s.t. AxbAeqx=Beqlbxubc(x)0ceq(x)=0

fmincon语法和参数

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
输入参数:

  • fun :目标函数,注意需要单引号,或者@,(即写为符号函数)
  • x0:函数fun参数值的初始化;
  • A, b:参数值的线性不等式约束(A * x <= b)
  • Aeq, beq:参数值的等式线性约束 (Aeq * x = beq)
  • lb, ub:参数值的下界和上界
  • options:使用所指定的优化选项执行,options 可设置这些选项
  • nonlcon:非线性约束,其参数值一般为约束函数。如果没有非线性不等式或等式约束,设置为 nonlcon = []

输出参数:

  • x:输出最优参数值
  • fval:输出 fun 在X参数的值
  • exitflag: 输出fmincon额外条件值
  • lambda :结构体,其字段包含解 x 处的拉格朗日乘数。
  • grad:fun 在解 x 处的梯度。
  • hessian:fun 在解 x 处的黑塞矩阵。请参阅fmincon Hessian 矩阵。

💧 算例实战

算例都是比较简单的,希望大家好好理解,单元和多元区别不大,进阶的话重点是关于fmincon求解结果的分析,目标函数属于凸函数还是非凸,是否全局最优还是局部最优,还得考虑fmincon求解的约束容限等。

初始解x0的设定

初始解的设定也很重要,得结合你所选用的算法。下面我都是直接设定x0=rand(2,1),大家可以尝试修改初始解,看看结果有什么不同。

线性等式和不等式约束

min ⁡ f ( x ) = 3 ⋅ x 1 + 5 ⋅ x 2 \min f(x)=3 \cdot x_1 +5 \cdot x_2 minf(x)=3x1+5x2

s . t . { x 1 + 3 x 2 ≤ 20 2 x 1 + x 2 ≤ 30 x 1 + x 2 = 10 0 ≤ x 1 ≤ 10 3 ≤ x 2 ≤ 8 s.t. \begin{cases} x_1+3 x_2 \leq 20 \\ 2 x_1+x_2 \leq 30 \\ x_1+x_2 = 10 \\ 0 \leq x_1 \leq 10 \\ 3 \leq x_2 \leq 8 \\ \end{cases} s.t. x1+3x2202x1+x230x1+x2=100x1103x28

将其与前面目标规划问题的基本形式对照即可,代码如下:

clc
clear
close all
fun=@(x) 3*x(1)+ 5*x(2);
x0=rand(1,2);
A=[1,3;2,1];
b=[20;30];
Aeq=[1,1];
beq=[10];
lb=[0,3];
ub=[10,8];
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

非线性等式和不等式约束

这里注意非线性部分得移项成标准形式,即非线性部分≤0非线性部分=0的形式,下方换成上面形式得移向变号,大家看到负号别讶异。

min ⁡ f ( x ) = 3 ⋅ x 1 2 + 5 ⋅ x 2 2 \min f(x)=3 \cdot x_1^2 +5 \cdot x_2^2 minf(x)=3x12+5x22

s . t . { x 1 + 3 x 2 ≤ 20 2 x 1 + x 2 ≤ 30 x 1 + x 2 = 10 0 ≤ x 1 ≤ 10 3 ≤ x 2 ≤ 8 x 1 2 − x 2 ≥ 0 x 1 − x 2 2 + 1 = 0 s.t. \begin{cases} x_1+3 x_2 \leq 20 \\ 2 x_1+x_2 \leq 30 \\ x_1+x_2 = 10 \\ 0 \leq x_1 \leq 10 \\ 3 \leq x_2 \leq 8 \\ x_1^2-x_2 \geq 0 \\ x_1-x_2^2 + 1 = 0 \end{cases} s.t. x1+3x2202x1+x230x1+x2=100x1103x28x12x20x1x22+1=0
主函数:

clc
clear
close all
fun=@(x) 3*x(1)^2+ 5*x(2)^2;
x0=rand(1,2);
A=[1,3;2,1];
b=[20;30];
Aeq=[1,1];
beq=[10];
lb=[0,3];
ub=[10,8];
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'mycon')

新建mycon.m函数

function [c,ceq]=mycon(x)
c=-x(1)^2+x(2);
ceq=-x(1)-x(2)^2+1;

含有求和公式目标函数

若目标函数含有求和公式,如何用代码表示呢?

min ⁡ f ( x ) = ∑ i 50 ( x i − 1 ) 2 \min f(x)= \sum_i^{50}(x_i-1)^2 minf(x)=i50(xi1)2

  • 其中x为自变量,c为已知量

则我们的目标函数为

function f = fun(x)
f = 0;
for i=1:50f = f + (x(i) - 1)^2
end

在这里插入图片描述

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