1.原题

有n个顶点的无向图，使用邻接矩阵作为存储结构。为减少存储空间，使用数组按照行主映射方式仅保存下三角矩阵。请给出映射公式，并编写算法计算给定顶点的度。叙述算法思想并用C++实现，说明算法的复杂性

2.算法思想

对于左下三角，直接用映射公式；对于右上三角，通过对称的特点转为左下三角，再用映射公式

3.关键代码

/*** @brief 压缩邻接矩阵为一维数组（左下三角）** 将二维邻接矩阵压缩为一维数组，仅存储左下三角部分的数据。** @param adjMatrix 二维数组表示的邻接矩阵* @param compressedMatrix 用于存储压缩后的矩阵的一维数组*/
void compressAdjacencyMatrix(int adjMatrix[NUM_VERTICES][NUM_VERTICES],int compressedMatrix[NUM_VERTICES * (NUM_VERTICES + 1) / 2]) {int index = 0;// 遍历二维矩阵的左下三角部分for (int i = 0; i < NUM_VERTICES; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {// 将左下三角的数据压缩到一维数组中compressedMatrix[index] = adjMatrix[i][j];index++;}}
}/*** @brief 计算给定顶点的度（利用压缩矩阵）** 使用压缩的邻接矩阵计算给定顶点的度数。** @param vertex 给定顶点的索引* @param compressedMatrix 压缩后的矩阵，存储图的连接关系* @return int 给定顶点的度数*/
int calculateDegree(int vertex, int compressedMatrix[NUM_VERTICES * (NUM_VERTICES + 1) / 2]) {int degree = 0;// 遍历矩阵中与给定顶点相关的元素for (int i = 0; i < NUM_VERTICES; i++) {// i 大于 vertex 表示右上部分的矩阵if (i > vertex) {// 根据公式 i * (i + 1) / 2 + vertex 计算出压缩后的矩阵位置degree += compressedMatrix[i * (i + 1) / 2 + vertex];}// i 小于 vertex 表示左下部分的矩阵else if (i < vertex) {// 根据公式 vertex * (vertex + 1) / 2 + i 计算出压缩后的矩阵位置degree += compressedMatrix[vertex * (vertex + 1) / 2 + i];}}return degree;
}

4.完整代码

/*** @file main.c* @brief 实现了邻接矩阵及其操作。*/#include <stdio.h>#define NUM_VERTICES 6/*** @brief 压缩邻接矩阵为一维数组（左下三角）** 将二维邻接矩阵压缩为一维数组，仅存储左下三角部分的数据。** @param adjMatrix 二维数组表示的邻接矩阵* @param compressedMatrix 用于存储压缩后的矩阵的一维数组*/
void compressAdjacencyMatrix(int adjMatrix[NUM_VERTICES][NUM_VERTICES],int compressedMatrix[NUM_VERTICES * (NUM_VERTICES + 1) / 2]) {int index = 0;// 遍历二维矩阵的左下三角部分for (int i = 0; i < NUM_VERTICES; i++) {for (int j = 0; j <= i; j++) {// 将左下三角的数据压缩到一维数组中compressedMatrix[index] = adjMatrix[i][j];index++;}}
}/*** @brief 计算给定顶点的度（利用压缩矩阵）** 使用压缩的邻接矩阵计算给定顶点的度数。** @param vertex 给定顶点的索引* @param compressedMatrix 压缩后的矩阵，存储图的连接关系* @return int 给定顶点的度数*/
int calculateDegree(int vertex, int compressedMatrix[NUM_VERTICES * (NUM_VERTICES + 1) / 2]) {int degree = 0;// 遍历矩阵中与给定顶点相关的元素for (int i = 0; i < NUM_VERTICES; i++) {// i 大于 vertex 表示右上部分的矩阵if (i > vertex) {// 根据公式 i * (i + 1) / 2 + vertex 计算出压缩后的矩阵位置degree += compressedMatrix[i * (i + 1) / 2 + vertex];}// i 小于 vertex 表示左下部分的矩阵else if (i < vertex) {// 根据公式 vertex * (vertex + 1) / 2 + i 计算出压缩后的矩阵位置degree += compressedMatrix[vertex * (vertex + 1) / 2 + i];}}return degree;
}/*** @brief 打印邻接矩阵* @param adjMatrix 邻接矩阵*/
void printAdjacencyMatrix(int adjMatrix[NUM_VERTICES][NUM_VERTICES]) {for (int i = 0; i < NUM_VERTICES; i++) {for (int j = 0; j < NUM_VERTICES; j++) {printf("%d ", adjMatrix[i][j]);}printf("\n");}
}/*** @brief 主函数，用于测试邻接矩阵及其操作*/
int main() {int adjMatrix[NUM_VERTICES][NUM_VERTICES] = {{0, 1, 1, 0, 0, 0},{1, 0, 0, 1, 0, 0},{1, 0, 0, 1, 1, 0},{0, 1, 1, 0, 0, 1},{0, 0, 1, 0, 0, 1},{0, 0, 0, 1, 1, 0}};printf("Adjacency Matrix:\n");printAdjacencyMatrix(adjMatrix);int compressedMatrix[NUM_VERTICES * (NUM_VERTICES + 1) / 2];compressAdjacencyMatrix(adjMatrix, compressedMatrix);printf("Compressed Matrix:\n");for (int i = 0; i < NUM_VERTICES * (NUM_VERTICES + 1) / 2; i++) {printf("%d ", compressedMatrix[i]);}int vertex = 3; // 输入要计算度的顶点int degree;degree = calculateDegree(vertex - 1, compressedMatrix);printf("\nDegree of vertex %d is %d\n", vertex, degree);return 0;
}

5.运行结果