数理逻辑
求前束范式的一般步骤:
- 利用等值公式消去“ → \rightarrow →”和“ ↔ \leftrightarrow ↔”
- 否定深入
- 改名
- 前移量词
仅含有全称量词的前束范式称为SKOLEM标准形。
SKOLEM
标准形的求解算法:
- 先求谓词演算公式的前束范式
- 使用
n
元函数干掉存在量词 - 从左至右重复上述过程,直至公式中不含有存在量词
量词消去/引入规则
- 全称量词消去规则
- 全称量词引入规则
- 存在量词消去规则
- 存在量词引入规则
集合论
空集是唯一的
幂集定义
A
是一个集合,存在一个集合,它是由A
的所有子集为元素构成的集合,称它为集合A
的幂集合,记为P(A)
,也记为 2 A 2^A 2A。
P({Ø,{Ø}})={Ø,{Ø},{{Ø}}, {Ø,{Ø}}}
A
是一个含有n
个元素的集合,则幂集 2 A 2^A 2A 中A
的子集总数为 2 n 2^n 2n。
集合的基本运算
- 并运算
- 交运算
- 相对补运算(差运算)
- 绝对补运算(补运算)
- 对称差
加法公式: ∣ A 1 ∪ A 2 ∣ = ∣ A 1 ∣ + ∣ A 2 ∣ − ∣ A 1 ∩ A 2 ∣ |A_1\cup A_2|=|A_1|+|A_2|-|A_1\cap A_2| ∣A1∪A2∣=∣A1∣+∣A2∣−∣A1∩A2∣
减法公式: ∣ A − B ∣ = ∣ A ∣ − ∣ A ∩ B ∣ |A-B|=|A|-|A\cap B| ∣A−B∣=∣A∣−∣A∩B∣
包含排斥原理(多退少补公式)
集合关系
设R是从A到B的一个二元关系,即 R ⊆ A × B R\subseteq A\times B R⊆A×B
若 R = ∅ R=\varnothing R=∅,称为空关系。
若 R = A × B R=A\times B R=A×B,称为全域关系。
当A=B
时,将全域关系记作 E A E_A EA,即 E A = A 2 E_A=A^2 EA=A2
当A=B
时,记 I A = { < x , x > ∣ x ∈ A } I_A=\{ <x,x>|x\in A \} IA={<x,x>∣x∈A}称之为A
上的恒等关系。
F ∘ G = { < x , y > ∣ ∃ z ( < x , z > ∈ G ∧ < z , y > ∈ F ) } F\circ G=\{ <x,y>|\exist z(<x,z>\in G\wedge<z,y>\in F) \} F∘G={<x,y>∣∃z(<x,z>∈G∧<z,y>∈F)}
显然, F ∘ G ⊆ A × F F\circ G\subseteq A\times F F∘G⊆A×F,是一个从A
到C
的二元关系,称之为F
与G
的合成关系,也称为复合关系。
二元关系的表示方法
- 有序二元组
- 表
- 关系图
- 关系矩阵
域、限制、像
设A和B是两个集合,R
是从A
到B
的一个二元关系,即 R ⊆ A × B R\subseteq A\times B R⊆A×B。令
d o m R = { x ∣ ∃ y ( < x , y > ∈ R ) } domR=\{ x| \exist y(<x,y>\in R) \} domR={x∣∃y(<x,y>∈R)}
r a n R = { y ∣ ∃ x ( < x , y > ∈ R ) } ranR=\{ y|\exist x(<x,y>\in R) \} ranR={y∣∃x(<x,y>∈R)}
f l d R = d o m R ∪ r a n R fldR=domR\cup ranR fldR=domR∪ranR
分别称之为R
的定义域、值域、域。
R R R在 A ′ A' A′上的限制: R ↾ A ′ = { < x , y > ∣ < x , y > ∈ F ∧ x ∈ A ′ } R\upharpoonright A'=\{ <x,y>|<x,y>\in F\wedge x\in A' \} R↾A′={<x,y>∣<x,y>∈F∧x∈A′}
R R R在 A ′ A' A′上的像: R [ A ′ ] = r a n ( R ↾ A ′ ) R[A']=ran(R\upharpoonright A') R[A′]=ran(R↾A′)
d o m R − 1 = r a n R domR^{-1}=ranR domR−1=ranR
r a n R − 1 = d o m R ranR^{-1}=domR ranR−1=domR
复合的逆等于逆的复合,但次序要交换
关系的性质
- 自反性
- 反自反性
- 对称性
- 反对称性
- 传递性
等价关系、等价类、商集
等价关系:自反、对称、传递
若R
是非空集合A
上的等价关系,x
是A
中任意一个元素,令 [ x ] R = { y ∣ x ∈ A ∧ < x , y > ∈ R } [x]_R=\{y |x\in A\wedge<x,y>\in R \} [x]R={y∣x∈A∧<x,y>∈R}
[ x ] R [x]_R [x]R为x
关于R
的等价类,简记为 [ x ] [x] [x]。是一个值的集合。
集合A
关于等价关系R
的商集: A / R = { [ X ] R ∣ x ∈ A } A/R=\{ [X]_R|x\in A \} A/R={[X]R∣x∈A}
x
叫代表元
A={1,2,3}
R={<1,1>, <2,2>, <3,3>, <1,2>, <2,1>}
A / R = { [ 1 ] R , [ 2 ] R , [ 3 ] R } = { { 1 , 2 } , { 3 } } A/R=\{ [1]_R,[2]_R,[3]_R \}=\{ \{1,2\},\{3\} \} A/R={[1]R,[2]R,[3]R}={{1,2},{3}}
集合的划分
若给定集合A
上的一个划分π
,可以在A
上定义一个二元关系R
,使得R
成为A
上的一个等价关系,且有: A / R = π A/R=\pi A/R=π
偏序关系、偏序集
设A
是一个非空集合,R
是A
上的一个二元关系,若R
有自反性、反对称性、传递性,则称R
是A
上的一个偏序关系。并称(A,R)
是一个偏序集。
一个偏序集,通常用符号 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)来表示
一个偏序集 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤),包含集合A与集合A上的偏序关系 ≤ \leq ≤。
- 不允许 x ∈ ( A , ≤ ) x\in(A,\leq) x∈(A,≤)出现
- 而仅有 x ∈ A x\in A x∈A,或 < x , y > ∈ ≤ <x,y>\in\leq <x,y>∈≤。
谈到元素是从A
中取,讲到关系是在 ≤ \leq ≤中取。
对于任意的 x , y ∈ A x,y\in A x,y∈A,若 x ≤ y x\leq y x≤y或者 y ≤ x y\leq x y≤x,则说x
与y
可比,否则说x
与y
不可比。
A={1,2,3,4}
R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,4>}
R
是A
上一个偏序关系。3
与4
不可比。
覆盖、哈斯图(
Hasse Diagram
)
设偏序集 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤),A
是一个有限集,|A|=n
。
如果不存在 z ∈ A z\in A z∈A,使得 x ≤ z x\leq z x≤z,且 z ≤ y z\leq y z≤y,那么称y
覆盖x
,或称y
盖住x
。
哈斯图:这个图形有n
个顶点,每一个顶点表示A
中一个元素,两个顶点x
与y
,若有y
覆盖x
,则点x
在点y
的下方,且两点之间有一条直线相连结。
设A={{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,5},{3,6},{4,6},{0,3,6},{1,5,8},{0,3,4,6}}
R
是A
上的一个偏序关系:对于任意的 x , y ∈ A x,y\in A x,y∈A, < x , y > ∈ R <x,y>\in R <x,y>∈R当且仅当 x ⊆ y x\subseteq y x⊆y。
如果A中的任意两个元素都是可比的,那么称 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)为全序集,并称 ≤ \leq ≤为 A A A上的全序关系。
一个有限的偏序集,一定有极大元和极小元,但不一定有最大元和最小元。
设a
和b
是A
中的两个元素。如果A
一个元素c
满足 a ≤ c a\leq c a≤c且 b ≤ c b\leq c b≤c,说c
是a
和b
的上界。
如果c
是a
和b
的上界,并且若存在a
和b
的任意一个上界d
,则有 c ≤ d c\leq d c≤d,称c
为元素a
和b
的最小上界<least upper bound>
,记为lub{a,b}=c
。
如果A
一个元素c
满足 c ≤ a c\leq a c≤a且 c ≤ b c\leq b c≤b,说c
是a
和b
的下界。
如果c
是a
和b
的上界,并且若存在a
和b
的任意一个下界d
,则有 d ≤ c d\leq c d≤c,称c
为元素a
和b
的最大下界<greatest lower bound>
,记为glb<a,b>=c
。
若对于任意的元素a
和b
属于A
,在A
中存在a
和b
的最小上界及最大下界,则称 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)是一个格。
函数
设A
和B
是两个非空集合,f
是 A × B A\times B A×B的一个子集,即 f ⊆ A × B f\subseteq A\times B f⊆A×B。若对于任意的x∊A,存在唯一的 y ∈ B y\in B y∈B,使得 < x , y > ∈ f <x,y>\in f <x,y>∈f,则称f
是从A
到B
的一个函数(映射)。
- d o m f = A domf=A domf=A
- r a n f ⊆ B ranf\subseteq B ranf⊆B
函数相等: f = g ⇔ f ⊆ g ∧ g ⊆ f f=g\Leftrightarrow f\subseteq g\wedge g\subseteq f f=g⇔f⊆g∧g⊆f
B A B^A BA读作“B上A”:所有从A
到B
的函数构成的集合。
B A = { f ∣ f : A → B } B^A=\{ f|f:A\rightarrow B \} BA={f∣f:A→B}
如果 ∣ A ∣ = m ( ≠ 0 ) |A|=m(≠0) ∣A∣=m(=0), ∣ B ∣ = n ( ≠ 0 ) |B|=n(≠0) ∣B∣=n(=0),则 ∣ B A ∣ = n m |B^A|=n^m ∣BA∣=nm。
像、像源集
设 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B, A ′ ⊆ A A'\subseteq A A′⊆A,令 f ( A ′ ) = { f ( x ) ∣ x ∈ A ′ } f(A')=\{ f(x)|x\in A' \} f(A′)={f(x)∣x∈A′},称为 A ′ A' A′在 f f f下的像。
当 A ′ = A A'=A A′=A时,称 f ( A ′ ) = f ( A ) = r a n f f(A')=f(A)=ranf f(A′)=f(A)=ranf是函数的像(值域)
设 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B, B ′ ⊆ B B'\subseteq B B′⊆B,令 f − 1 ( B ′ ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B ′ } ⊆ A f^{-1}(B')=\{ x\in A|f(x)\in B' \}\subseteq A f−1(B′)={x∈A∣f(x)∈B′}⊆A称之为 B ′ B' B′的像源集。
单射、满射、双射
f
单射意味着: f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 f(x1)=f(x2)⇒x1=x2
若 r a n f = f ( A ) = B ranf=f(A)=B ranf=f(A)=B,则 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B是满射函数。
若f
既是单射函数,又是满射函数,则称f
是双射函数,也叫一一对应的函数。
常函数、恒等函数(恒等关系)、单调函数
常函数:值是个常数
恒等函数: I A ( x ) = x I_A(x)=x IA(x)=x
单调函数
特征函数:有就是1,没有就是0
自然映射: g ( a ) = [ a ] , ∀ a ∈ A g(a) = [a],\forall a\in A g(a)=[a],∀a∈A
设A,B是两个集合,若存在f:A→B
,且f
是双射函数,则称集合A
与集合B
的势相等,记为|A|=|B|
设A
为可数无限集,记 ∣ A ∣ = ℵ 0 |A|=\aleph_0 ∣A∣=ℵ0,读作“阿列夫零”
复合函数、反函数
函数的复合:二元关系的复合
反函数:不等于二元关系的逆,双射函数才有反函数
函数的逆关系不一定是个函数。
双射函数的逆关系是一个双射函数。
图
无序积、多重集
无序积中的元素是两个元素的集合{a,b}
,其中a
与b
不分次序。不宜将{a,b}
记作为(a,b)
,一般认为(a,b)=<a,b>
中a
与b
是有次序的。
- A & B = { { x , y } ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A\&B=\{\{x,y\}|x\in A\wedge y\in B\} A&B={{x,y}∣x∈A∧y∈B}
约定一个多重集是一些对象的总体,但这些对象不必不同。一个元素的重数是它在该多重集里出现的次数。集合仅是多重集中重数仅为0
和1
的特殊情况
{a,a,a,b,b,c}
无向图、有向图
设V
是一个非空有限集合,E
是无序积V&V
的一个多重子集,则称二元组G=(V,E)
是一个无向图。
设V
是一个非空有限集合,E
是笛卡尔积V×V
的一个多重子集,则称二元组G=(V,E)
是一个无向图。
多重图、简单图
通常用G
表示无向图,D
表示有向图,也常用G
泛指无向图和有向图。
V(G)
,E(G)
,V(D)
,E(D)
:G
和D
的顶点集, 边集
**n**
阶图:n
个顶点的图
零图: E = ∅ E=\varnothing E=∅
平凡图:1阶零图
空图: V = ∅ V=\varnothing V=∅
端点、相邻、关联次数、孤立点、环
在无向图中,如果有2
条或2
条以上的边关联同一对顶点,则称这些边为平行边,平行边的条数称为重数。
在有向图中,如果有2
条或2
条以上的边具有相同的始点和终点,则称这些边为有向平行边,简称平行边,平行边的条数称为重数。
含平行边的图称为多重图。
既无平行边也无环的图称为简单图。
度、握手定理
点的入度、出度、度
图的最大出度、最小出度、最大入度、最小入度、最大度、最小度
悬挂顶点、悬挂边
握手定理: Σ d ( v ) = 2 ∣ E ∣ \Sigma d(v)=2|E| Σd(v)=2∣E∣
在一个图中,度数为奇数的顶点必有偶数个。
顶点度序列:顶点度序列是一组正整数,每一个数对应某一个顶点的度数。
完全图
n
阶无向完全图:每个顶点都与其余顶点相邻的n
阶无向简单图
n
阶有向完全图:每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n
阶有向简单图
子图、母图、生成子图、真子图、导出子图
补图
无向图的同构
任意两个同构的无向图,一定有一个同样的顶点度序列。
一个无向简单图如果同构于它的补图,则称这个图为自互补图。
通路、回路、图的连通性
通路:顶点序列、边序列、顶点与边的交替序列。
称一条通路经过的边的多少为这条通路的长度。
称两个顶点间的最短通路的长度为该两个顶点间的距离。
称一条通路为简单通路,如果它的每一条边都不重复出现。
称一条通路为初等通路,如果它的每一个顶点都不重复出现。
若一个回路中边不重复出现,则称之为简单回路。
若一个回路中顶点不重复出现,则称之为初等回路,又称之为圈。
环是长度为1
的圈;
两条平行边构成长度为2
的圈;
在无向简单图中, 所有圈的长度 ≥ 3 \geq3 ≥3
在有向简单图中, 所有圈的长度 ≥ 2 \geq2 ≥2
在n
阶图G
中,若从顶点u
到v
( u ≠ v ) (u\neq v) (u=v)存在通路,则从u
到v
存在长度小于等于 n − 1 n-1 n−1的初级通路
在n
阶图G
中,若存在v
到自身的简单回路,则存在v
到自身长度小于等于n
的初级回路
连通:无向图中有通路
可达:有向图中有通路
连通是等价关系(规定u
与自身总连通)
可达具有自反性和传递性(规定u
到自身总是可达的)
连通图
连通分支、连通分支数
强连通 ⇒ \Rightarrow ⇒单向连通 ⇒ \Rightarrow ⇒弱连通
强连通与单向连通图判别法:
D
强连通当且仅当D
中存在经过每个顶点至少一次的回路。D
单向连通当且仅当D
中存在经过每个顶点至少一次的通路。
点割集(割点),点连通度
如果全部擦除 V ′ V' V′中的顶点以及相应的边,所剩下的图的连通分支个数增加,并且部分擦除 V ′ V' V′中的顶点以及相应的边,所剩下的图的连通分支个数不变。
当点割集 V ′ V' V′为单点集 { v 1 } \{ v_1 \} {v1}时,称该顶点 v 1 v_1 v1为割点。
称点割集中最小顶点数 m i n ∣ V ′ ∣ min|V'| min∣V′∣为点连通度。
边割集 (割边/桥),边连通度
如果全部擦除 E ′ E' E′中的边,所剩下的图的连通分支个数增加,并且部分擦除 E ′ E' E′中的边,所剩下的图的连通分支个数不变。
当割边集 E ′ E' E′为单点集 { e 1 } \{ e_1 \} {e1}时,称该边 e 1 e_1 e1为割边,或桥。
称边割集中的最小边数 m i n ∣ E ′ ∣ min|E'| min∣E′∣为边连通度。
点连通度 ≤ \leq ≤边连通度 ≤ \leq ≤顶点最小度
无向图的关联矩阵