1.概述

（1）n 个有序的元素有 n! 个不同的排列，如果一个排列使得所有的元素不在原来的位置上，则称这个排列为错排（也称重排）。例如，[1, 2] 的错排是唯一的，只有 1 个，即 [2, 1]。[1, 2, 3] 的错排有 2 个，即 [3, 1, 2]，[2, 3, 1]。

（2）设 i 个有序元素的错排有 A_i 个，则 n 个有序的元素的错排个数为：A_n = (n - 1) * (A_n-1 + A_n-2)，具体推导过程如下：

• 设共有 n 个有序元素，考虑第 n 个元素，如果将其放在某一个位置，一共有 n - 1 种情况；
• 然后再考虑第 i (1 ≤ i < n) 个元素，这时有两种情况：
  • 如果将其放到位置 n，那么对于除 n 以外的 n - 1 个元素，由于第 i 个元素放到了位置 n，所以剩下的 n - 2 个元素进行错排即可，故有 A_n-2 种情况；
  • 如果第 i 个元素不放到位置 n，这时对于这 n - 1 个元素的错排，有 A_n-1 种放法。
• 又根据乘法和加法法则，综上得到 A_n = (n - 1) * (A_n-1 + A_n-2)，并且 A₁ = 0， A₂ = 1；

2.代码实现

2.1.获取错排情况总数

（1）获取错排情况总数的代码实现如下：

class Solution {public int countDerangements(int n) {if (n == 1) {return 0;} else if (n == 2) {return 1;} else {int prev = 0;int curr = 1;for (int i = 3; i <= n; i++) {int temp = (i - 1) * (prev + curr);prev = curr;curr = temp;}return curr;}}
}

（2）测试代码如下：

class Test {public static void main(String[] args) {Solution solution = new Solution();int n = 4;System.out.println(n + " 个有序元素的错排情况有 " + solution.countDerangements(n) + " 种");}
}

输出结果如下：

4 个有序元素的错排情况有 9 种

2.2.获取每种错排情况

（1）获取每种错排情况的代码实现如下：

class Solution {List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();List<Integer> nums = new ArrayList<>();public List<List<Integer>> findDerangements(int n) {for (int i = 1; i <= n; i++) {nums.add(i);}derangementHelper(0);return res;}private void derangementHelper(int start) {//递归到最后一个位置if (start == nums.size()) {//将当前排列添加到结果列表中res.add(new ArrayList<>(nums));return;}for (int i = start; i < nums.size(); i++) {//如果当前位置的元素不等于 start + 1，则交换位置if (nums.get(i) != start + 1) {swap(i, start);//递归处理剩下的元素derangementHelper(start + 1);//回溯，恢复原始位置swap(i, start);}}}private void swap(int i, int j) {int temp = nums.get(i);nums.set(i, nums.get(j));nums.set(j, temp);}
}

需要注意的是，上面的代码是用于理解错排问题和递归解法的示例，对于较大的 n，递归可能会导致性能问题，实际生产环境中可能需要考虑使用其他方法来解决错排问题。

（2）测试代码如下：

class Test {public static void main(String[] args) {Solution derangement = new Solution();int n = 4;List<List<Integer>> derangements = derangement.findDerangements(n);System.out.println(n + " 个有序元素的错排情况有 " + derangements.size() + " 种，分别如下：");for (List<Integer> derangementList : derangements) {System.out.println(derangementList);}}
}

输出结果如下：

4 个有序元素的错排情况有 9 种，分别如下：
[2, 1, 4, 3]
[2, 3, 4, 1]
[2, 4, 1, 3]
[3, 1, 4, 2]
[3, 4, 1, 2]
[3, 4, 2, 1]
[4, 3, 2, 1]
[4, 3, 1, 2]
[4, 1, 2, 3]

3.应用

错排问题是一个经典的组合数学问题，也称为“卡塔兰数”问题。它的应用场景有很多，下面列举几个常见的应用场景：

• 密码学：错排问题可以用于密码学中的置换密码算法。通过将明文中的字符进行错排，即改变它们的位置，可以增加密码算法的安全性和随机性。
• 计算机网络：在计算机网络中，错排问题可以用于调度算法和路由算法的设计。通过对数据包进行错排，可以避免数据包之间的冲突和重复，提高网络传输效率。
• 排序算法：错排问题可以用于改进排序算法的稳定性和性能。通过对元素进行错排，可以减少相等元素之间的交换和比较次数，从而提高排序算法的效率。
• 组合优化：错排问题在组合优化领域有广泛的应用。例如，在任务调度、资源分配和作业调度等问题中，通过错排的方式可以有效地避免冲突和重复，优化任务或资源的分配方案。
• 硬币排列问题：在硬币排列问题中，错排问题可以用于计算硬币的不重叠排列方式。通过错排的方法，可以得到硬币排列的可能性，用于解决硬币组合和排列问题。