什么是一阶逻辑?

一阶逻辑(FOL)是指句子或陈述的谓词只能指单个主语Subject的逻辑。

一阶逻辑也称为谓词逻辑或一阶谓词逻辑,它不但能以更简便的方式表达对象信息,还能表达这些对象之间的关系

一阶逻辑(像自然语言一样)组成:

  • 对象:人、数字等各种对象
  • 关系:它可以是一元关系,如:红色、圆形、相邻;也可以是n元关系,如:的妹妹、的弟弟、有颜色、介于两者之间。
  • 函数Function:父亲的、最好朋友的、第三局的、结束的、......

从符号角度:一阶逻辑FOL 由三组符号组成:

  • V:一组变量。
  • F:一组函数,也称为函子。
  • P:谓词的集合,也称为关系、符号。

上述是两种分类法,前者更接近语文;后者更接近数学。所以,不只是语文、数学学得好,还要两者结合思考,死读书考试让学生没有时间去驾驭语文和数学进行综合思考,逻辑能力非常差,创新力差。

作为一种自然语言,一阶逻辑也有两个主要部分:

  1. 语法
  2. 语义

1、语法:

  • 常量Constant:1, 2, A, John, Mumbai, cat,....
  • 变量Variables:x, y, z, a, b,....
  • 谓词Predicates:Brother, Father, >,....
  • 函数Function:sqrt, LeftLegOf, ....
  • 连接词Connectives:∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔
  • 等号Equality:==
  • 量词Quantifier:∀, ∃

原子句:

  • 原子句是一阶逻辑最基本的句子。这些句子由谓词符号后跟带有一系列术语的括号组成。

  • 表示为谓词Predicate (term1, term2, ......, term n)。

示例:

  1. Ravi 和 Ajay 是兄弟: => Brothers(Ravi, Ajay)。

  2. Chinky 是一只猫: => 猫 (Chinky)。

banq注:第一句是组合,第二句是继承:抽象两种方法:上下文与类型

复杂句子:

  • 复杂句子是通过使用连接词组合原子句子而构成的。

一阶逻辑语句可以分为两部分:

  • 主题:主题是陈述的主要部分。

  • 谓词:谓词可以定义为一种关系,它将两个原子在一个语句中绑定在一起。

“x 是一个整数。”由两部分组成:

  • 第一部分 x 是陈述的主语subject,
  • 第二部分“是一个整数”,被称为谓词Predicates。

一阶逻辑中的量词:

  • 量词是产生量词的语言元素,量词指定了语域中样本的数量。
  • 这些符号允许确定或标识逻辑表达式中变量的范围和范围。量词有两种类型:
    1. 通用量词,(对于所有人,所有人,一切) 
    2. 存在量词(对于某些人来说,至少有一个)。

FOL 与命题逻辑 ( PL )不同
FOL 与命题逻辑 ( PL )不同,命题逻辑的表达能力不强,因为信息只能表示为真或假。FOL 是 PL 的扩展,其谓词断言某些元素之间的关系。它提供了一种更丰富的语言来以数学方式表示语言(英语)语句。它还需要更复杂的机制来检查逻辑结果。

  • PL 的抽象能力有限,因为它不允许对具有一般和可变内容的变量和函数进行推理。PL 是声明性的,并假设世界包含事实。它允许以逻辑形式表示信息并从中得出结论。然而,它不足以以数学和逻辑方式表示复杂的句子或自然语言陈述,也不足以表达。

  • FOL 提供了一个更正式的逻辑系统,其中包含变量,因此允许抽象、符号推理和推论。FOL 提供了一种更具表现力和简洁的方式来表示自然语言语句。其逻辑语言适合表达对象之间的关系。

总结:

  • 一阶逻辑(FOL)是指句子或陈述的谓词只能指单个主语Subject的逻辑。它也称为一阶谓词演算或一阶泛函演算。

  • 一阶逻辑仅量化个体范围内的变量;二阶逻辑,也量化集合;三阶逻辑还对集合的集合进行量化 ,注意:个体元素和集合是两种不同的类型,可见罗素的理发师悖论

  • FOL 是一种形式逻辑系统,它提供了一种将自然语言形式化为可计算/数学格式的方法。通过FOL,用英语句子表达的问题可以以形式化的方式表示,这使得阐述想法、得出结论和证明定理成为可能。这种表述支持推理,这对于许多学术和现实世界的学科至关重要

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