图的连通性问题
| 最少边数 | 最多边数 | |
| 无向图非连通 | 𝒎=𝟎 | 𝒎=𝒏−𝟐∗(𝒏−𝟏)/𝟐 |
| 无向图连通 | 𝒎=𝒏−𝟏 | 𝒎=𝒏∗(𝒏−𝟏)/𝟐 |
| 有向图非强连通 | 𝒎=𝟎 | 𝒎=𝒏−𝟐∗𝒏−𝟏+𝟏 |
| 有向图强连通 | 𝒎=𝒏 | 𝒎=𝒏∗(𝒏−𝟏) |
最小生成树
Prim
- 选点（point）
- 时间复杂度：𝑶𝑽𝟐
- 适合边稠密
Kruskal
- 选边
- 时间复杂度：𝑶𝑬𝒍𝒐𝒈𝟐𝑬
- 适合边稀疏
回忆一下是如何通过这两个算法构造最小生成树的？
最短路径问题
| BFS | Dijkstra | Floyd | |
| 无权图 | ⭕ | ⭕ | ⭕ |
| 带权图 | ❌ | ⭕ | ⭕ |
| 带负权值的图 | ❌ | ❌ | ⭕ |
| 带负权回路的图 | ❌ | ❌ | ❌ |
| 时间复杂度 | 𝑂𝑉2|𝑂(𝑉+|𝐸|) | 𝑂(|𝑉2|) | 𝑂(|𝑉3|) |
| 通常用于 | 求无权图的单源最短路径 | 求带权图的单源最短路径 | 求带权图的各个顶点间的最短路径 |
回忆如何通过这三种算法求最短路径？
拓扑序列
- 对于任一有向图，如果它的邻接矩阵为三角矩阵，则一定存在拓扑序列（可能不唯一），反之不一定成立。
- 若图存在拓扑序列，却不一定能满足邻接矩阵中主对角线以下的元素均为0，但是可以通过适当地调整结点的编号，使其邻接矩阵能够满足主对角线以下的元素均为0。
- 拓扑序列唯一，也不能唯一确定该图
- 若一个有向图具有有序的拓扑序列，则它的邻解矩阵一定为：三角矩阵
- 若基于邻接表，则拓扑排序时间复杂度为：𝑶(|𝑽|+|𝑬|)
- BFS和DFS都可以用于实现拓扑排序
- 顶点：事件
- 边：活动
关键路径
详细步骤做法：
| 节点 | 最早开始时间 | 正着找，相加，取大值 |
| 节点 | 最晚开始时间 | 反着找，相减，取小值 |
| 边 | 最早开始时间 | 从谁发出的最早开始时间 |
| 边 | 最晚开始时间 | 被指向的最晚开始时间 减去 权值 |
- 如何延长工程的工期？
- 在AOE图中，关键路径上活动的时间延长多少，整个工程的时间也就随之延长多少【增加任一关键活动的时间将会增加工程的工期】
- 关键活动是什么？
- 关键路径上的所有活动都是关键活动
- 关键路径是什么？
- 关键路径是源点到终点的最长路径
- 求关键路径的快速方法：找起点到终点的最长路径
- 如何缩短关键路径？
- 只有缩短所有关键路径的长度时，整个图的关键路径才能有效缩短。
- 能任意缩短关键路径吗？
- 不能任意缩短，一旦缩短到一定程度，该关键活动就可能变成非关键活动。
- 只有一条关键路径的时候，减少关键活动的时间会缩短工程的工期吗？
- 会缩短工程的工期
- 有多条关键路径的时候，减少关键活动的时间会缩短工程的工期吗？
- 不一定会缩短工程的工期
- 关键路径是唯一的吗？
- 并不唯一。
