5.1 树的基本概念

5.1.1 树的定义

• 一棵树是结点的有限集合T：
  • 若T非空，则：
    • 有一个特别标出的结点，称作该树的根，记为root(T)；
    • 其余结点分成若干个不相交的非空集合T1, T2, …, Tm (m>0)，其中T1, T2, …, Tm又都是树，称作root(T)的子树。
  • T 空时为空树，记作root(T)=NULL。

5.1.2 森林的定义

  一个森林是0棵或多棵不相交（非空）树的集合，通常是一个有序的集合。换句话说，森林由多个树组成，这些树之间没有交集，且可以按照一定的次序排列。在森林中，每棵树都是独立的，具有根节点和子树，树与树之间没有直接的连接关系。
  森林是树的扩展概念，它是由多个树组成的集合。在计算机科学中，森林也被广泛应用于数据结构和算法设计中，特别是在图论和网络分析等领域。

5.1.3 树的术语

• 父亲（parent）、儿子（child）、兄弟（sibling）、后裔（descendant）、祖先（ancestor）
• 度（degree）、叶子节点（leaf node）、分支节点（internal node）
• 结点的层数
• 路径、路径长度、结点的深度、树的深度

参照前文：【数据结构】树与二叉树（一）：树（森林）的基本概念：父亲、儿子、兄弟、后裔、祖先、度、叶子结点、分支结点、结点的层数、路径、路径长度、结点的深度、树的深度

5.2 二叉树

5.3 树

5.3.1 树的存储结构

1. 理论基础

2. 典型实例

3. Father链接结构

4. 儿子链表链接结构

【数据结构】树与二叉树（十八）：树的存储结构——Father链接结构、儿子链表链接结构

5. 左儿子右兄弟链接结构

【数据结构】树与二叉树（十九）：树的存储结构——左儿子右兄弟链接结构（树、森林与二叉树的转化）
  左儿子右兄弟链接结构通过使用每个节点的三个域（FirstChild、Data、NextBrother）来构建一棵树，同时使得树具有二叉树的性质。具体来说，每个节点包含以下信息：

1. FirstChild： 存放指向该节点的大儿子（最左边的子节点）的指针。这个指针使得我们可以迅速找到一个节点的第一个子节点。
2. Data： 存放节点的数据。
3. NextBrother： 存放指向该节点的大兄弟（同一层中右边的兄弟节点）的指针。这个指针使得我们可以在同一层中迅速找到节点的下一个兄弟节点。

  通过这样的结构，整棵树可以用左儿子右兄弟链接结构表示成一棵二叉树。这种表示方式有时候被用于一些特殊的树结构，例如二叉树、二叉树的森林等。这种结构的优点之一是它更紧凑地表示树，而不需要额外的指针来表示兄弟关系。

   A/|\B C D/ \E   F

A
|
B -- C -- D|E -- F

即：

      A/ B   \C/ \ E   D\F

5.3.2 获取结点的算法

【数据结构】树与二叉树（二十）：树获取大儿子、大兄弟结点的算法（GFC、GNB）

5.3.3 树和森林的遍历

1. 先根遍历（递归）

【数据结构】树与二叉树（七）：二叉树的遍历（先序、中序、后序及其C语言实现）

a.理论

b. ADL算法PreOrder

1. 基本条件检查：

   • IF t=NULL THEN RETURN.：如果树的根节点 t 为空，直接返回，递归的出口条件。

2. 打印根节点数据：

   • PRINT(Data(t)).：打印当前树节点 t 的数据。

3. 递归调用子树的先根遍历：

   • PreOrder(t.child).：递归调用先根遍历算法，对当前节点 t 的第一个孩子进行遍历。

4. 迭代调用右兄弟节点的先根遍历：

   • WHILE child≠∧ DO：使用 WHILE 循环，判断当前节点的第一个孩子是否存在（child≠∧）。
     • PreOrder(child).：递归调用先根遍历算法，对当前节点 child 进行遍历。
     • GNB(child.child).：调用算法 GNB 获取当前节点 child 的下一个兄弟节点，然后继续遍历。

  通过递归地调用先根遍历算法，依次访问树的根节点、根节点的孩子节点、孩子节点的兄弟节点，以此类推，完成对整个树的先根遍历。

c. 代码实现

void PreOrder(TreeNode* t) {// 基本条件检查if (t == NULL) {return;}// 打印当前树节点的数据printf("%c ", t->data);// 递归调用子树的先根遍历TreeNode* child = getFirstChild(t);while (child != NULL) {PreOrder(child);// 迭代调用右兄弟节点的先根遍历child = getNextBrother(child);}
}

2. 先根遍历（非递归）

a. ADL算法NPO

b. NPO算法解析

1. 栈的初始化：

   • CREATE(S): 创建一个栈 S 用于存储待访问的节点。

2. 初始节点指针 p 的设置：

   • p ← t: 将当前节点指针 p 设置为树的根节点 t。

3. 遍历过程：

   • NPO3. [若 p 所指结点不为空，访问 p 所指结点，将 p 压入栈，并将其 FirstChild 指针设为 p.]
     • 如果当前节点 p 不为空，访问该节点的数据，将 p 压入栈，并将 p 的第一个孩子节点设置为新的 p。

4. While 循环：

   • WHILE p ≠ ∧ DO
     • 进入一个循环，只要当前节点 p 不为空。
     • PRINT(Data(p)): 打印当前节点的数据。
     • S <= p: 将当前节点 p 压入栈。
     • p ← FirstChild(p): 将 p 移动到其第一个孩子节点。

5. 后续处理：

   • WHILE p = ∧ AND S 非空 DO
     • 进入一个循环，只有当 p 为空而且栈 S 不为空时。
     • p <= S: 弹出栈顶元素，将其赋给 p。
     • p ← NextBrother(p): 将 p 移动到其下一个兄弟节点。

6. 结束条件：

   • IF S 非空 THEN GOTO NPO3: 如果栈 S 非空，跳转到标签 NPO3，继续遍历。

c. 代码实现

// 先根遍历的非递归算法
void NorecPreOrder(TreeNode* t) {if (t == NULL) {return;}TreeNode* stack[100];  // 假设栈的最大大小为100int top = -1;TreeNode* p = t;while (p != NULL || top != -1) {if (p != NULL) {// 访问当前节点printf("%c ", p->data);// 将当前节点入栈stack[++top] = p;// 移动到当前节点的第一个孩子p = getFirstChild(p);} else {// 出栈并移动到下一个兄弟节点p = getNextBrother(stack[top--]);}}
}

1. 参数：

   • t: 树的根节点。

2. 局部变量：

   • stack[100]: 用于模拟栈的数组，存储待访问的节点。
   • top: 栈顶指针，表示栈的当前位置。

3. 算法过程：

   • 如果树的根节点为空 (t == NULL)，直接返回。
   • 初始化当前节点指针 p 为树的根节点 t。
   • 使用循环遍历整个树结构，直到当前节点 p 为空且栈 stack 为空。
   • 在循环中：
     • 如果当前节点 p 不为空：
       • 访问当前节点的数据：printf("%c ", p->data);
       • 将当前节点入栈：stack[++top] = p;
       • 移动到当前节点的第一个孩子：p = getFirstChild(p);
     • 如果当前节点 p 为空：
       • 出栈并移动到下一个兄弟节点：p = getNextBrother(stack[top--]);
   • 循环结束后，遍历完成。

4. 栈的作用：

   • 使用栈来模拟递归调用过程，确保每个节点都能被正确地访问。
   • 入栈操作保存了当前节点的信息，以便在遍历完当前节点的子树后返回到其兄弟节点。
   • 这个算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是树的节点数量。

3. 代码整合

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义树节点
typedef struct TreeNode {char data;struct TreeNode* firstChild;struct TreeNode* nextBrother;
} TreeNode;// 创建树节点
TreeNode* createNode(char data) {TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));if (newNode != NULL) {newNode->data = data;newNode->firstChild = NULL;newNode->nextBrother = NULL;}return newNode;
}// 释放树节点及其子树
void freeTree(TreeNode* root) {if (root != NULL) {freeTree(root->firstChild);freeTree(root->nextBrother);free(root);}
}// 算法GFC：获取大儿子结点
TreeNode* getFirstChild(TreeNode* p) {if (p != NULL && p->firstChild != NULL) {return p->firstChild;}return NULL;
}// 算法GNB：获取下一个兄弟结点
TreeNode* getNextBrother(TreeNode* p) {if (p != NULL && p->nextBrother != NULL) {return p->nextBrother;}return NULL;
}/* 使用已知的getFirstChild和getNextBrother函数实现先根遍历以t为根指针的树。*/
void PreOrder(TreeNode* t) {// 基本条件检查if (t == NULL) {return;}// 打印当前树节点的数据printf("%c ", t->data);// 递归调用子树的先根遍历TreeNode* child = getFirstChild(t);while (child != NULL) {PreOrder(child);// 迭代调用右兄弟节点的先根遍历child = getNextBrother(child);}
}// 先根遍历的非递归算法
void NorecPreOrder(TreeNode* t) {if (t == NULL) {return;}TreeNode* stack[100];  // 假设栈的最大大小为100int top = -1;TreeNode* p = t;while (p != NULL || top != -1) {if (p != NULL) {// 访问当前节点printf("%c ", p->data);// 将当前节点入栈stack[++top] = p;// 移动到当前节点的第一个孩子p = getFirstChild(p);} else {// 出栈并移动到下一个兄弟节点p = getNextBrother(stack[top--]);}}
}int main() {// 构建左儿子右兄弟链接结构的树TreeNode* A = createNode('A');TreeNode* B = createNode('B');TreeNode* C = createNode('C');TreeNode* D = createNode('D');TreeNode* E = createNode('E');TreeNode* F = createNode('F');A->firstChild = B;B->nextBrother = C;C->nextBrother = D;C->firstChild = E;E->nextBrother = F;// 使用递归先根遍历算法printf("Recursive Preorder: \n");PreOrder(A);printf("\n");// 使用非递归先根遍历算法printf("Non-recursive PreOrder: \n");NorecPreOrder(A);printf("\n");// 释放树节点freeTree(A);return 0;
}