总体、样本与统计量

总体及其分布

在数理统计中，称所研究的对象的全体为总体，总体中的元素称为个体。若总体中的个体数目为有限，则称之为有限总体；否则就称之为无限总体。

理解总体与个体：一批灯管10万支，在研究这批灯管的平均使用寿命时，该批灯管的全部使用寿命就组成一个总体，而其中每个灯管的使用寿命是个体。

数理统计所关心的并非每个个体的所有属性，而是它的某一项或若干项数量指标 $X$ 和该数量指标 $X$ 在总体中的分布情况。一方面，说到总体必对应某数量指标 $X$ 可能取值的集合；另一方面，研究任意数量指标 $X$，其可能取值的全体即构成一个总体。因此，把二者等同起来，所谓总体的分布就是指数量指标 $X$ 的分布。

数量指标 $X$ 是一个随机变量，于是总体的分布也就是随机变量 $X$ 的概率分布。

样本及其分布

从总体中取得一部分个体，这一部分个体称为样本。样本中的每个个体称为样品。样品中的个体数目称为样本容量。

取得样本的过程称为抽样，抽样中采用的方法称为抽样法。在数理统计中，一般采用随机抽样法，即从总体中随意地抽取若干个个体。

设由样本 $X_1,...,X_n$，若 $X_1,...,X_n$ 是独立同分布的且 $X_1$ 的分布与总体 $X$ 的分布相同，则称它为简单随机样本。

说样本 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 是 $n$ 维随机向量，这是针对进行一次抽样前而言，实施了一次抽样后，得到的是一个实向量 $(x_1,...x_n{)}^T$，它是样本 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 的一个观察值，称为样本值。

统计量

统计量概念

样本是推断总体特性的依据，但在获得样本之后，并不能由样本直接进行统计推断，需要先对样本进行加工和提炼，把样本中所含的总体的相关信息集中起来，即，针对不同的问题构造出样本的适当函数。这种样本的函数就称为统计量。

设 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 为总体 $X$ 的一个样本，若 $g(x_1,...,x_n)$ 为样本空间 $\mathcal{X}$ 到 ${\mathbf{R}}^k$ 的可测映射，且 $g$ 中不含任何未知参数，则称 $t=g(X_1,...,X_n)$ 为统计量。

粗略来说，统计量就是用作统计的量，因而它不能含未知参数。

样本矩

设 $(X_1,...,X_n)$ 为总体 $X$ 的一个样本，称统计量 $$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$ 为样本均值；称统计量 $$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\bar{X}}^2$$ 及 $$S^{\ast 2}=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$ 分别为样本方差及修正样本方差，称样本方差的算数根 $S=\sqrt{S^2}$ 为样本标准差；称统计量 $$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$$ 及 $$B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k$$ 分别为样本 $k$ 阶原点矩及样本 $k$ 阶中心矩。

由大数定律可以证明，当 $n$ 很大时，可用一次抽样后所得的样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$ 分别作为总体 $X$ 的均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^2$ 的近似值。

顺序统计量及其分布

设 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 为总体 $X$ 的一个样本，其观察值为 $(x_1,...,x_n{)}^T$，将 $x_1,...,x_n$ 由小到大进行排列，依次记为 $x_{(1)},...,x_{(n)}$，即 $x_{(1)}\le ...\le x_{(n)}$。按下述方法定义统计量 $X_{(k)}$：当样本 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 取值为 $(x_1,...,x_n{)}^T$ 时，规定 $X_{(k)}$ 取值为 $x_{(k)}$，由此得到的 $(X_{(1)},...,X_{(n)}{)}^T$ 称为样本 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 的顺序统计量或次序统计量，$X_{(k)}$ 称为样本 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 的第 $k$ 个顺序统计量，$X_{(1)}$ 称为样本 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 的最小顺序统计量，$X_{(n)}$ 称为样本 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 的最大顺序统计量。

样本中位数与样本极差

设 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 为总体 $X$ 的一个样本，其顺序统计量为 $(X_{(1)},...,X_{(n)}{)}^T$，由 $(X_{(1)},...,X_{(n)}{)}^T$ 可定义在应用上有重要意义的样本中位数与样本极差。

称统计量
$$Me=\{\begin{array}{ll}{X}_{((n+1)/2)},& n为奇数\\ \frac{1}{2}(X_{(n/2)}+X_{((n+1)/2)}),& n为偶数\end{array}$$
为样本中位数。样本中位数具有计算方便且不受样本值中的异常值 (outlier) 影响的特点，因而有时比样本均值更具有代表性。

称统计量
$$R=X_{(n)}-X_{(1)}$$
为样本极差。样本极差是反映样本值分散程度的量。

经验分布函数

设 $(X_1,...,X_n{)}^T$ 为总体 $X$ 的一个样本，其顺序统计量为 $(X_{(1)},...,X_{(n)}{)}^T$。当样本的观察值为 $(x_1,...,x_n{)}^T$ 时，顺序统计量的观察值为 $(x_{(1)},...,x_{(n)}{)}^T$，对任意实数 $x$，记 $$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<x_{(1)}\\ \frac{k}{n},& x_{(k)}\le x<x_{(k+1)},k=1,2,...,n-1\\ 1,& x_{(n)}\le x\end{array}$$ 则称 $F_n(x)$ 是经验分布函数。

经验分布函数的性质：

1. $F_n(x)$ 是 $x$ 的单调非降函数；
2. $F_n(x)$ 是 $x$ 的右连续函数；
3. $F_n(-\infty )=0,F_n(+\infty )=1$

参考文献

[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。