2023NOIP A层联测32

A flandre

有 $n$ 种烟花，每种烟花有两个参数 $a，b$，你要构造一种燃放顺序，使得 $b$ 的和最大， $b$ 会改变，具体来说：设 $i$ 在 $j$ 前燃放，那么。

• $a_i<a_j$ ，则 $b_j+k\to b_j$
• $a_i=a_j$ 则 $b_j$ 不变
• $a_i>a_j$ 则 $b_j-k\to b_j$

$1\le n\le 10^6$

这个题考场就想到了正解。思考一下，最优方案满足一个性质，将 $a$ 从小到大排序，依次燃放。暴力求答案，然后选出最优的方案就好了，可惜有一个变量没有给初始值挂了 $70$ 分，关键是大样例还过了。

B.meirin

给定两个序列 $a,b$

$q$ 次操作，每次把 $b$ 的 $[l,r]$ 的每个值加上 $k$ ，每次操作后查询：
$$\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(\sum _{i=l}^r{a}_i)\times (\sum _{i=l}^r{b}_i)\mathrm{mod}(10^9+7)$$
$n,q\le 5\times 10^5$

因为修改的是 $b$ 的值，我们就可以考虑把 $[l,r]$ 里面的值对答案的影响算出来。

设 $sum{1}_i$ 是 $i\times a_i$ 的前缀和， $sum{2}_i$ 就是 $(n-i+1)\times a_i$ 的前缀和。

每个 $b_i$ 的贡献就是 $sum{1}_{i-1}\times (n-i+1)+sum{2}_{i+1}\times i+a_i\times i\times (n-i+1)$

用一个前缀和维护一下这个值就可以做到 $O(1)$ 修改。

考场最后 $30min$ 才想到正解，但是码了 $15min$ 发现只能过小样例过不了大样例，考后才发现是快写打错了。

C.sakuya

有 $n$ 个房间构成了一棵树，边有边权。树上有 $m$ 个特殊的房间，求走完这些房间的期望。

每次修改会使得连接 $x$ 的所有边加上 $k$

$n,m,q\le 5\times 10^5$

考虑修改一条边的影响，就是这条边两端的特殊房间的数量的乘积。

先把答案求出来，每次修改的时候就是把答案加上这个影响乘上 $k$ 就好了。

D. 红楼 ~ Eastern Dream

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，有 $m$ 次操作，格式如下：

• $1,x,y,k$ 对于所有满足 $(i-1)\mathrm{mod}x\le y$ 的 $i$ ，将 $a_i$ 加上 $k$
• $2,l,r$ 求 ${\sum }_{i=1}^r{a}_i$

$n,m\le 2\le 10^5$

根号分治。维护两个数组 $v_{i,j},v{s}_i$ ，表示对于所有 $(x-1)\mathrm{mod}i=j$ 的 $x$ ，$a_x$ 要加上的值， $vs_{i , j} $ 是 $v_{i,j}$ 的前缀和，即对于所有 $(x-1)\mathrm{mod}i\le j$ 的$x$ ，$a_x$ 要加上的值。

$x\le \sqrt{n}$ 可以直接修改。

$x\ge \sqrt{n}$ 需要用分块维护差分

总结

期望得分：$100+100+0+25=225$

实际得分：$70+30+0+25=115$

这次本来是一个信心场，但还是失误了。两个题想到正解都挂了，一个是忘记设初值，一个是快写打错，就是自己的代码实现能力不足了。而且码完一个题可以考虑先检查一小会。$T3$ 还没有拿到暴力分，遇到这种自己不熟练的题目，可以打打暴力，而不是直接就跳了。