参考：https://www.cnblogs.com/gxcdream/p/7597865.html

一、向量的内积（点乘）

定义：

两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b****正交的充要条件是a·b = 0。

常见用法：

求两向量夹角：

import numpy as ny# 注意：下面使用的都是单位向量# 二维: x轴和y轴夹角, 输出: 90
np.degrees(np.arccos(np.dot(np.array([0,1]),np.array([1,0]))))# 二维: x轴和第一象限45度，输出: 45
np.degrees(np.arccos(np.dot(np.array([0,1]),np.array([0.7071067811865476,0.7071067811865476]))))# 二维: x轴和负y轴, 输出：180
np.degrees(np.arccos(np.dot(np.array([1,0]),np.array([-1,0]))))# 三维: x轴和z轴, 输出: 90
np.degrees(np.arccos(np.dot(np.array([1,0,0]),np.array([0,0,1]))))

求向量1在向量2的投影长度:

# 下面用的都是单位向量# 第一象限45°单位向量在x轴上投影的长度,输出: 0.7071067811865476
np.dot(np.array([1,0]),np.array([0.7071067811865476,0.7071067811865476]))

判断两向量夹角：

# 因为只是判断方向, 所以不必是单位向量# x轴与y轴内积, 输出0 垂直
np.dot(np.array([1,0]),np.array([0,1]))
# x轴与负y轴内积, 输出0 垂直
np.dot(np.array([1,0]),np.array([0,-1]))# x轴与第一象限45°内积，大于0 夹角在0 ~ 90°之间
np.dot(np.array([1,0]),np.array([1,1]))

二、向量的外积（叉乘）

定义：

向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。
特别地，0×a = a×0 = 0.此外，对任意向量a，a×a=0。

常见用法：

判断向量a，b的位置关系：

res > 0, a在b的逆时针方向
res = 0, a和b共线
res < 0, a在b的顺时针方向

# 注意：上面内积只能求夹角，但判断不了顺逆时针（180°以内）# x轴和y轴，输出> 0 说明 x轴在y轴逆时针方向
a = np.cross(np.array([1,0]),np.array([0,1]))
print(a) # 输出 1# y轴和x轴，输出 <0 说明，y轴在x轴的顺时针方向
b = np.cross(np.array([0,1]),np.array([1,0]))
print(b) # 输出 -1

求面法线：

# 由x轴和y轴求出z轴，输出: array([0, 0, 1])
np.cross(np.array([1,0,0]),np.array([0,1,0]))