一、数的分类

1.有理数

（1）概念

• 整数：$...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...$。整数集用 $Z$ 表示。
• 分数：$\frac{1}{3},\frac{8}{5},1.37,...$

有理数：整数和分数统称为有理数。有理数集用 $Q$ 表示。

• 相反数：只有符号不同的数成为相反数。
• 绝对值：数轴上表示数 $a$ 与原点的距离叫做 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

（2）运算法则

• 加法（减法）运算：
  • 同号两数相加，取相同符号，绝对值相加
  • 异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
  • 减去一个数等于加这个数的相反数
• 乘法（除法）运算：
  • 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
  • 除以一个数等于乘这个数的倒数
• 乘方运算：
  • 求 $n$ 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 $a^n$ 中，$a$ 叫做底数，$n$ 叫做指数。
  • 优先级高于乘法

（3）科学计数法

把一个大于 $10$ 的数表示成 $a\times 10^n$ 的形式$(1\le a\le 10,n为正整数)$，叫做科学计数法。

2.实数

（1）平方根

• 一个正数 $x$ 的平方等于 $a$，即 $x^2=a$，那么这个整数 $x$ 叫做 $a$ 的算术平方根。$a$ 的算术平方根记为 $\sqrt{a}$，读作“根号 $a$”，$a$ 叫做被开方数。

• 实际操作不难发现很多整数的算术平方根是一个无限不循环小数。

• 若一个数的平方等于 $a$，那么这个数叫做 $a$ 的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算叫做开平方。

• 立方根：一个数的立方等于 $a$，那么这个数叫做 $a$ 的立方根或三次方根。记作 $\sqrt[3]{a}$。这里 $3$ 被称为根指数，更高次的规则同样如此。

（2）无理数

• 小数：所有的分数都可以表示为小数。分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数，前两者属于有理数，后者叫做无理数。
• 无理数：也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、$\pi$ 和 $e$ 等。
• 实数：有理数和无理数统称为实数。实数集用 $R$ 表示。

3.虚数

• 虚数：在数学中，虚数就是形如 $a+bi$ 的数，其中 $a,b$ 是实数，且 $b\ne 0,i^2=-1$。虚数 $a+bi$ 的实部 $a$ 可对应平面上的横轴，虚部 $b$ 可对应平面上的纵轴，这样虚数 $a+bi$ 可与平面内的点$(a,b)$对应。
• 复数：实数和虚数统称为复数。

二、多项式运算

1.单项式

• 概念：形如 $100t,0.8p,mn,a^{2}h,-n$ 这样被表示为数或字母的积的式子被我们称为单项式。
• 系数：单项式中的数字因数被叫做单项式的系数。一般要写在字母的前面
• 次数：所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数

2.多项式

• 概念：多个单项式的和被叫做多项式。
• 项：每个单项式被称为多项式的项。
• 常数项：不含字母的项叫做常数项。
• 次数：次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。

3.运算

• 同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项。
• 同类项之和的所得项，系数为各同类项系数之和，字母和指数不变
• 两项之积：系数相乘，不同字母直接保留，相同字母指数相加

三、方程与不等式

1.基本规则

不等式：用$>,<,\le ,\ge ,\ne$等符号来连接的式子叫做不等式。例如：$\frac{2}{3}x>50$

• 等式两边加（乘）同一个数（式子），结果仍相等。

• 不等式两边加同一个数（式子），不等式符号不变。若乘一个负数（负式子），不等式符号方向变化。

将整式从等式（不等式）的一侧移到另一侧需要变号。所以解不等式和解方程的流程完全一致。只是等式有解，而不等式的解构成一个解集，如 $x>75$ 就是上面不等式的解集。

2.二元一次方程组

一个方程包含两个未知数的方程称为二元一次方程。两个二元一次方程组合在一起被称为二元一次方程组。

使得二元一次方程等式成立的被称为二元一次方程的解。方程组的公共解被称为二元一次方程组的解。

求解的方式被我们称之为消元。在方程组中的某一个方程中，把一个未知数当作已知来表示另一个未知数，带入到另一个方程中，即可求解。例如下面的流程：
$$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=y+3\\ 3(y+3)-8y=14\end{array}\to$$

$$\{\begin{array}{l}x=y+3\\ -5y=5\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=y+3\\ y=-1\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}$$

也可以采用别的方式，只要能够创造出一元方程即可。
$$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}3x-3y=9\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}5y=-5\\ 3x-8y=14\end{array}\to$$

$$\{\begin{array}{l}5y=-5\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}y=-1\\ 3x-8y=14\end{array}\to \{\begin{array}{l}y=-1\\ x=2\end{array}$$

至于三元、四元，本质上就没有什么区别了。但更多元的方程将有更高级的解法，毕竟这样实在太过麻烦，线性代数将是一个很好的工具。

3.一元一次不等式组

解出每一个不等式，取它们的公共部分即为一元一次不等式组的解集。

四、平面直角坐标系

平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴称为 $x$ 轴，取向右为正方向；竖直的数轴称为 $y$ 轴，取向上为正方向。

平面上的点可以用一个有序数对来唯一表示。对于点 $A$ 来说，有坐标 $(a,b)$ 来表示。它表示横坐标是 $a$，纵坐标是 $b$。

平面被两条坐标轴分成了四个部分，我们称之为象限，从右上逆时针依次是第一、第二、第三、第四象限。