题目大意

给定一个有$n$个选手的团队去参加比赛，比赛有$m$道题，每个选手可以$100\%$将第$l_i\sim r_i$道题做出来。

比赛时，团队会随机派出编号连续的人去做题，得分为做出来题目的总数。

求该团队参加比赛的期望得分。

答案对$1e9+7$取模。

题目思路

我们先考虑暴力做法，先$n^2$枚举派出那些选手去参加比赛，然后$\log n$算出他们一共能做出多少道题，最后答案就是所有可能做出来的题目数量乘上$\frac{n\ast (n+1)}{2}$在模意义下的逆元即可。

现在考虑正解。

我们可以将枚举区间改为计算每道题对答案的贡献。

一开始假设每道题都会被包含在任意区间，然后顺序枚举$i$，对于$l_i\sim r_i$中的每个$j$，因为$(ls{t}_j,i)$中的区间不包含$j$，所以$j$不会对这个区间中的任意区间做贡献，答案就应该减去$\frac{(i-ls{t}_j)\ast (i-ls{t}_j-1)}{2}$。

考虑怎么维护$ls{t}_j$，一开始$ls{t}_j$全为$0$，每次操作后都会将$lst$数组中$l_i\sim r_i$赋值为$i$，所以$lst$可以用柯朵莉树维护。

最后在乘上方案数的逆元即可。

具体实现参考代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,ans=0;
const long long mod=1e9+7,inv=5e8+4;
struct node
{long long l,r;mutable long long v;node(long long L,long long R=-1,long long V=0){l=L,r=R,v=V;}bool operator<(const node &a) const{return l<a.l;}
};
set<node> a;
long long read()
{long long s=0,w=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9')s=s*10+(ch-'0'),ch=getchar();return s*w;
}
auto split(long long pos)
{auto it=a.lower_bound(pos);if(it!=a.end()&&it->l==pos)return it;it--;long long l=it->l;long long r=it->r;long long v=it->v;a.erase(it);a.insert(node(l,pos-1,v));return a.insert(node(pos,r,v)).first;
}
void emerge(long long l,long long r,long long k)
{auto itr=split(r+1);auto itl=split(l);for(auto it=itl;it!=itr;++it)ans=(ans-(it->r-it->l+1)*(k-it->v)%mod*(k-it->v-1)%mod*inv%mod+mod)%mod;a.erase(itl,itr);a.insert(node(l,r,k));return ;
}
long long ksm(long long a,long long b)
{long long sum=1;while(b){if(b&1)sum=sum*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return sum;
}
int main()
{freopen("competition.in","r",stdin);freopen("competition.out","w",stdout);n=read(),m=read();a.insert(node(1,m+10,0));ans=m%mod*n%mod*(n+1)%mod*inv%mod;for(int i=1;i<=n;++i){long long l=read(),r=read();emerge(l,r,i);}emerge(1,m,n+1);ans=ans*ksm(n*(n+1)%mod*inv%mod,mod-2)%mod;printf("%lld",ans);return 0;
}