上一章中遇到了划线法无法找到均衡的情况，例如盖硬币博弈，盖方盖硬币，猜方猜正反。那是因为考虑的都是纯策略，就是每个策略要么选，要么不选。本章考虑混合策略，就是每个策略都有一个选择的概率。
考虑还是这个盖硬币的博弈，混合策略就是盖方以p的概率盖正，那么就是1-p的概率盖反，猜方同理。p是连续的取值，而如果退化成p只能取1或0，那就退化成原来的纯策略了。
一、寻找纳什均衡
| 策略B1 | 策略B2 | |
| 策略A1 | (2, 3) | (5, 2) |
| 策略A2 | (3, 1) | (1, 5) |
考虑这样一个博弈，均衡就是，给定A的混合策略(p, 1-p)，B的混合策略(q, 1-q)，双方都不能改变自己的策略来使自己的收益增加。
换句话说，就是给定p，B的任何混合策略的期望都一样，给定q，A的任何混合策略的期望都一样。
这样计算E(B1(p))=E(B2(p))
E(A1(q))=E(B2(q))
解出来就可以得到均衡。
3P+(1-p)=2p+5(1-p)
2p+1=-3p+5
5p=4
P=0.8
2q+5(1-q)=3q+(1-q)
-3q+5=2q+1
-5q=-4
Q=0.8
NE就是{(0.8, 0.2), (0.8, 0.2)}
这里有两个问题
1.为什么这两个纯策略期望一样了，所有的混合策略的期望就都一样了？
考虑混合策略的期望，E=q*E(B1(p)) + (1-q)*E(B2(p))，要对于任意的q，E的值都相等，那是不是只要E(B1(p))=E(B2(p))就好了。
2.这样算出来可能有多个均衡吗，为什么
可能有多个均衡，如果E(B1(p))和E(B2(p))两边的p消了，那取任意的p，这个等式都恒成立了，那任意的p就都是均衡。
二、计算混合策略收益
法一、直接计算
| 策略B1(0.8) | 策略B2(0.2) | |
| 策略A1(0.8) | (2, 3) | (5, 2) |
| 策略A2(0.2) | (3, 1) | (1, 5) |
还是刚才这个例子，均衡之后，每个格子就有自己相应的概率了，每个格子相应的概率乘上对应的人的收益，最后求和就是均衡下这个人的期望收益。
UA=0.8*0.8*2+0.8*0.2*5+0.2*0.8*3+0.2*0.2*1=2.6
UB=0.8*0.8*3+0.8*0.2*2+0.2*0.8*1+0.2*0.2*5=2.6
法二、巧算
既然均衡了，那么就是意味着，A取均衡这一策略，B取任意策略收益都一样，那么我在算B的收益的时候，我就可以固定A为均衡，B的策略取个简单的例如(1, 0)，这样可以减少一半的计算，反之亦然。
那么刚才那个每个格子的概率重新写下（算Ｂ）
| 策略B1(1) | 策略B2(0) | |
| 策略A1(0.8) | (2, 3) | (5, 2) |
| 策略A2(0.2) | (3, 1) | (1, 5) |
UB=3*0.8+1*0.2=2.6
算A
| 策略B1(0.8) | 策略B2(0.2) | |
| 策略A1(0) | (2, 3) | (5, 2) |
| 策略A2(1) | (3, 1) | (1, 5) |
UA=3*0.8+1*1*0.2=2.6
三、计算混合策略反应函数
这里考虑的是二人博弈，且每人只有两个策略，那么函数就是给定A选择他策略1的概率p，B选择他策略1的概率q应该是多少，所以两个人是两个函数，p=f(q), q=f(p)
二人博弈所以可以化成二维的图
两个策略所以期望是1次函数，不消掉概率的情况下只有一个均衡。
那么满足这两个条件，这类博弈的反应函数就都可以表示为分段函数
把两个分段函数画在一张图，刚才的例子
定理：反应函数交点是纳什均衡，这是充要条件。
下面附画图python代码
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npNEp=0.8
NEq=0.8# 创建一个细分的p和q值数组
p_values = np.linspace(0, 1, 500)
q_values = np.linspace(0, 1, 500)# 初始化Q(p)和p(q)的值
Q_values = np.where(p_values < NEp, 1, np.nan)
Q_values = np.where(p_values > NEp, 0, Q_values)p_q_values = np.where(q_values < NEq, 0, np.nan)
p_q_values = np.where(q_values > NEq, 1, p_q_values)# 绘制Q(p)
plt.plot(p_values, Q_values, label='q=f(p)')# 绘制p(q), 并且交换x和y轴的值
plt.plot(p_q_values, q_values, label='p=f(q)')# 设置图例
plt.legend()# 设置x和y轴的标签
plt.xlabel('p')
plt.ylabel('q')# 设置标题
plt.title('Reaction Function')# 显示网格
plt.grid(True)# 显示图形
plt.show()
