算法?认识一下啦

一、什么是算法?

算法 ,是对特定问题求解方法和步骤的一种描述。它是有限指令的有限序列,其中每个指令表示一个或多个操作。

算法和程序的关系

  • 算法是解决问题的一种方法或一个过程,考虑如何将输入转换成输出,一个问题可以有多种算法。
  • 程序是用某种程序设计语言对算法的具体实现。
  • 程序 = 数据结构 + 算法

一个算法必须具备以下五个重要特性:

  • 有穷性 :一个算法必须总是在执行有穷步之后结束,且每一步都在有穷时间内完成。
  • 确定性 :算法中每一条指令必须有确切的含义,没有二义性,在任何条件下只有唯一的一条执行路径,即对相同的输入只能得到相同的输出。
  • 可行性: 算法是可执行的,算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现。
  • 输入:一个算法有零个或n个输入。
  • 输出 :一个算法有一个或n个输出。

二、算法设计的基本要求

  • 正确性(Correctness):应满足具体问题的需求。
  • 可读性(Readability):应容易供人阅读和交流,方便理解和修改。
  • 健壮性(Robustness):应具有容错处理。当输入非法或错误数据时,算法应能适当地作出反应或进行处理,而不会产生莫名其妙的输出结果。
  • 通用性(Generality):算法应具有一般性 ,即算法的处理结果对于一般的数据集合都成立。
  • 高效性(Efficiency):效率与存储空间需求: 效率指的是算法执行的时间;存储空间需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。

一个好的算法首先要具备正确性,然后是健壮性,可读性,在几个方面都满足的情况下,主要考虑算法的效率,通过算法的效率高低来评判不同算法的优劣程度。

三、时间复杂度

1. 度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

  1. 事后统计的方法——这种方法可行, 但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快
  2. 事前估算的方法——通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

2. 时间频度(Tn)

  • 时间频度:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

  • 基本案例
    比如计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法:

    int total = 0;
    int end = 100;
    for(int i = 1; i <= end; i++) {total += i;
    }
    //此时 T(n) = n+1
    -----------------------------------
    /* 如果直接计算 */
    total = (1+end)*end/2;
    //此时 T(n) = 1
    

计算时间频度时我们发现当n无限大时可以忽略不计“常数项”、“低次项”和“系数”。如下举例说明。

“可以忽略常数项”

nT(n)=2n+20T(n)=2*nT(n)=3n+10T(n)=3n
1222133
2244166
530102515
836163424
1550305545
30806010090
100220200310300
300620600910900

image-20220721100021071

结论:

  1. 2n+202n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 20可以忽略
  2. 3n+103n 随着n 变大,执行曲线无限接近, 10可以忽略

“可以忽略低次项”

nT(2n²+3n+10)T(2n²)T(n²+5n+20)T(n²)
1152261
2248344
575507025
816212812464
15505450320225
30190018001070900
10020310200001052010000

image-20220721100729737

结论:

  1. 2n²+3n+102n² 随着n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
  2. n²+5n+20 随着n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20

“可以忽略系数”

nT(3n²+2n)T(5n²+7n)T(n³+5n)T(6n³+4n)
1512610
216341856
585160150770
82083765523104
157051230345020310
302760471027150162120
100302005070010005006000400

image-20220721100750640

结论:

  1. 随着n值变大,5n²+7n3n² + 2n ,执行曲线重合, 说明 这种情况下, 53可以忽略。
  2. n³+5n6n³+4n ,执行曲线分离,说明多少次方是关键而不可忽略。

3. 时间复杂度(On)

3.1 时间复杂度

一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称f(n)T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度

T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)

计算时间复杂度的方法:对T(n)进行“去常数、去低次项、去最高次项系数”就好了。

如: T(n)=n²+7n+6 ==> O(n)=n²

3.2 常见的时间复杂度

  1. 常数阶 O(1)
  2. 对数阶 O(log₂N)的
  3. 线性阶 O(n)
  4. 线性对数阶 O(nlog₂n)
  5. 平方阶 O(n^2)
  6. 立方阶 O(n^3)
  7. k次方阶 O(n^k)
  8. 指数阶 O(2^n)
  9. 阶乘 O(n!)

image-20220721100827667

说明:

  • 常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log₂N)<Ο(n)<Ο(nlog₂n)<Ο(n2)<Ο(n3)<Ο(nk)<Ο(2n) ,随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低
  • 从图中可见,我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

代码举例常见的时间复杂度:

  1. 常数阶O(1)

    无论代码执行了多少行,只要是没有循环等复杂结构,那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

    int i = 1;
    int j = 2;
    i++;
    j++;
    int m = i + j;
    
  2. 对数阶O(log₂n)

    int i = 1;
    while (i < n) {i = i * 2;
    }
    

    说明:在while循环里面,每次都将 i 乘以 2,乘完之后,i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后,i 就大于 2 了,此时这个循环就退出了,也就是说 2 的 x 次方等于 n,那么 x = log₂n 也就是说当循环 log₂n 次以后,这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为:O(log₂n) 。 O(log₂n) 的这个2 时间上是根据代码变化的,i = i * 3 ,则是 O(log₃n)。

  3. 线性阶O(n)

    for (i = 1; i <= n; i++) {j = i;j++;
    }
    

    说明:这段代码,for循环里面的代码会执行n遍,因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的,因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

  4. 线性对数阶O(nlogN)

    for (m = 1; m < n; m++) {i = 1;while (i < n) {i = i * 2;}
    }
    

    说明:线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解,将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话,那么它的时间复杂度就是 n * O(logN),也就是 O(nlogN)

  5. 平方阶O(n²)

    for (x = 1; i <= n; x++) {for (i = 1; i <= n; i++) {j = i;j++;}
    }
    

    说明:平方阶O(n²) 就更容易理解了,如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍,它的时间复杂度就是 O(n²),这段代码其实就是嵌套了2层n循环,它的时间复杂度就是 O(n*n),即 O(n²) ,如果将其中一层循环的n改成m,那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

  6. 立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

    说明:参考上面的O(n²) 去理解就好了,O(n³)相当于三层n循环,其它的类似

3.3 平均时间复杂度、最坏时间复杂度

  • 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。

  • 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

  • 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致,和算法有关(如图:)。

    image-20220721101050597

四、空间复杂度

基本介绍

  1. 类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模n的函数。
  2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关,它随着n的增大而增大,当n较大时,将占用较多的存储单元,例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
  3. 在做算法分析时,主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看,更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(如redis, memcache)和算法(如基数排序)本质就是用空间换时间.

算法最常见的一个核心思想:空间换时间。还有另一个思想是升维

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