浅谈3D隐式表示（SDF，Occupancy field，NeRF）

本篇文章介绍了符号距离函数Signed Distance Funciton(SDF)，占用场Occupancy Field，神经辐射场Neural Radiance Field（NeRF）的概念、联系与区别。

显式表示与隐式表示

三维空间的表示形式可以分为显式和隐式。

比较常用的显式表示比如体素Voxel，点云Point Cloud，三角面片Mesh等。

比较常用的隐式表示有 符号距离函数Signed Distance Funciton(SDF)，占用场Occupancy Field，神经辐射场Neural Radiance Field（NeRF） 等。

本文将对几种隐式表示进行介绍，并以我本人的理解讲一讲它们的联系和区别。

概述

首先，对这三种隐式表示进行概述，帮助大家对三种表示有一个大致的认识，这里看不懂没关系，后面有更加详细的介绍。

函数function与场field

先回顾一下函数和场的概念，我认为函数和场实际上都是代表了一种映射关系。

函数 f(x)=y 是自变量 x 到因变量 y 的映射。

场的定义是向量到向量或数的映射，空间中的场可以认为是空间中点到这个点的属性的映射。以磁场为例，磁场就是空间中每个点都具有一个磁感应矢量B，也就是点到向量的映射，即空间中每个点都映射到一个特定的向量 $B$ 。在其他情况下，点不一定映射到向量，也可以映射到标量或者其他属性，只要是空间中点到属性的映射都是空间场。（一般用坐标 $(x, y, z)$ 表示空间中的点，所以点到属性的映射实际上是 $(x, y, z)$ 到属性 $s$ 的映射，如场 $F : (x, y, z) \to s$ ，这里的 $s$ 可以是向量也可以是标量）

本文讲的三种隐式表示都可以看做是一种映射关系，而且我们都可以用神经网络去拟合这种映射关系，达到用神经网络去表示三维空间的目的。

Signed Distance Funciton（SDF）

Signed Distance Funciton对应的中文是“符号距离函数”，我们更常见到的是它的缩写SDF。

SDF表示一个点到一个曲面的最小距离，同时用正负来区分点在曲面内外。点在曲面内部则规定距离为负值，点在曲面外部则规定距离为正值，点在曲面上则距离为0.

SDF的映射关系如下：

这里 $x$ 是个三维向量，代表三维空间中的点， $s$ 是一个值。也就是说 $S D F$ 实际上是一个点到一个值的映射。

相应的 $s < 0$ 则表示 $x$ 在曲面内， $s > 0$ 表示 $x$ 在曲面外， $s = 0$ 表示 $x$ 在曲面上。我们就可以用 $S D F (x) = 0$ 来表示一个曲面。

Occupancy Field

占用场表示一个点是否被曲线占用（占用就是在曲面内部）。

占用场的映射关系如下：

占用场映射关系

这里的 $p$ 是空间中的点， $s$ 表示 $p$ 被曲面占用的概率。可以看到占用场的映射关系和SDF是一致的，它和SDF的区别在于，占用场的 $s$ 的取值是 $[0, 1]$ ，即必须在0,1之间，所以占用场是将一个三维空间映射到 $[0, 1]$ ，即：

占用场的空间映射关系

通常以0.5为标准，即占用概率 $s$ 大于0.5我们倾向于认为点被曲面占用， $s$ 小于0.5我们倾向于认为点没有被曲面占用， $s$ 等于0.5我们认为点在曲面上。所以我们可以用 $F (p) = 0.5$ 在连续的三维占用场中表示一个曲面。

Neural Radiance Field

Neural Radiance Field 神经辐射场是这几年很火的概念，主要是由于NeRF以及后续系列工作的优异表现。

辐射场就是将“点+这个点发出的一条射线”映射到“点的密度值+射线的方向对应的颜色值”，映射关系如下：
辐射场的映射关系
$x, y, z$ 表示点坐标， $d$ 表示从这个点发出的一条射线的方向， $R, G, B$ 表示从这个射线的方向去看这个点的颜色值， $\sigma$ 表示这个点的密度值（比如烟雾的密度比较低，固体点的密度就很高）。