洛谷P3067 [USACO12OPEN] Balanced Cow Subsets G

题目大意

我们定义一个奶牛集合$S$是平衡的，当且仅当满足以下两个条件：

• $S$非空
• $S$可以被划分为两个集合$A,B$，满足$A$里的奶牛产量之和等于$B$里的牛奶产量之和

现在给定大小为$n$的奶牛集合$S$，询问它有多少个子集是平衡的。

$1\le n\le 20,1\le a_i\le 10^8$

题解

前置知识：折半搜索（meet in the middle）

我们考虑枚举$S$的子集$S^{\prime }$，在枚举子集$S^{\prime }$中的每个子集来判断$S^{\prime }$是否平衡。每个奶牛有三种情况：不在$S$中，在$S$中但不在$S^{\prime }$中，在$S$中且在$S^{\prime }$中。如果枚举每种情况的话，时间时间复杂度是$O(3^n)$的，我们考虑优化。

我们可以用折半搜索，将所有奶牛分为两个部分。

设前一部分中划分到集合$A$的元素的值之和为$a$，划分到集合$B$的元素的值之和为$b$。

设后一部分中划分到集合$A$的元素的值之和为$c$，划分到集合$B$的元素的值之和为$d$。

那么，$a+c=b+d$，移项的$a-b=c-d$。

我们先处理出前一部分的$a-b$，然后对于每一个$c-d$，在前面处理出的$a-b$中查找与$c-d$相等的并判断这两部分构成的集合是否是平衡的，是的话就更新答案即可。

处理前一部分和后一部分的时间复杂度都为$O(3^{n/2})$，合并的时间复杂度为$O(n{3}^n)$，所以总时间复杂度为$O(n{3}^n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt=0,ans=0,a[25],z[1<<20];
map<int,int>mp;
vector<int>v[1<<20];
void dfs1(int t,int sum,int now){if(t==n/2+1){if(!mp[sum]) mp[sum]=++cnt;v[mp[sum]].push_back(now);return;}dfs1(t+1,sum+a[t],now|(1<<t-1));dfs1(t+1,sum-a[t],now|(1<<t-1));dfs1(t+1,sum,now);
}
void dfs2(int t,int sum,int now){if(t==n+1){int tmp=mp[sum];if(tmp)for(int i=0;i<v[tmp].size();i++){z[v[tmp][i]|now]=1;}return;}dfs2(t+1,sum+a[t],now|(1<<t-1));dfs2(t+1,sum-a[t],now|(1<<t-1));dfs2(t+1,sum,now);
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}dfs1(1,0,0);dfs2(n/2+1,0,0);for(int i=1;i<1<<n;i++) ans+=z[i];printf("%d",ans);return 0;
}