高等数学前置知识——二次函数

文章目录

  • 二次函数
    • 1.1 二次函数
    • 1.2 二次函数的图像
      • 1.2.1 a > 0 时
      • 1.2.2 a < 0 时
      • 1.2.3 二次函数的平移
      • 1.2.4 普通二次型函数图像总结
    • 1.3 其他形式的二次函数
      • 1.3.1 顶点式
      • 1.3.2 交点式
    • 1.4 二次函数与直线的交点

二次函数

1.1 二次函数

二次函数的定义:y = ax2 + bx + c(其中 a ≠ 0 ,b和c没有要求

二次函数的性质:

  • 连续性
  • 可导性
  • 奇偶性
  • 单调性

1.2 二次函数的图像

1.2.1 a > 0 时

在这里插入图片描述

由上图可知:

  • 顶点:都为(0,0)
  • 对称轴:都为 y轴(x = 0)
  • 奇偶性:都为 偶函数
  • 单调性:y轴的左侧都为单调递减,y轴的右侧都为单调递增
  • 开口大小:|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大

1.2.2 a < 0 时

在这里插入图片描述

由上图可知:

  • 顶点:都为(0,0)
  • 对称轴:都为 y轴(x = 0)
  • 奇偶性:都为 偶函数
  • 单调性:y轴的左侧都为单调递增,y轴的右侧都为单调递减
  • 开口大小:|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大

1.2.3 二次函数的平移

对x(沿x轴移动):左加,右减

  • y = x2,y = (x + 1)2,y = (x -3)2 的图像如下所示:在这里插入图片描述

对y(沿y轴移动):上加,下减

  • y = x2,y = x2 + 3,y = x2 - 4 的图像如下所示:在这里插入图片描述

1.2.4 普通二次型函数图像总结

在这里插入图片描述

1.3 其他形式的二次函数

1.3.1 顶点式

二次函数的顶点式形式:y = a(x - h)² + k (a ≠ 0,a、h、k为常数)

  • 顶点:(h,k)
  • 对称轴:x = h
  • 开口方向:a > 0,开口向上;a < 0,开口向下

1.3.2 交点式

二次函数的交点式形式:y=a(x - x1)(x - x2)(a ≠ 0,x1、x2为常数)。未必所有的二次函数都可以化为交点式

与x轴交点:(x1, 0),(x2, 0)

开口方向:a > 0,开口向上;a < 0,开口向下

对称轴: x = x 1 + x 2 2 x = \frac{x_1 + x_2}{2} x=2x1+x2

1.4 二次函数与直线的交点

二次函数 y = ax2 + bx + c 与 直线 y = kx + m :

  1. 二式联立得:ax2 + bx + c = kx + m
  2. 解方程:ax2 + (b - k)x + c-m = 0
  3. 判别式:Δ = (b - k)2 - 4a(c-m)
    1. Δ < 0,没有交点
    2. Δ = 0,有一个交点
    3. Δ > 0,有两个交点

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