前面我们对 map / multimap / set / multiset 进行了简单的介绍，可以发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的。

但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成 O(N)，因此 map、set 等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用 平衡树 来实现。

一、AVL树（高度平衡二叉搜索树）

1、概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

• 最优情况下，有 n 个结点的二叉搜索树为完全二叉树，查找效率为：O(log₂N)。
• 最差情况下，有 n 个结点的二叉搜索树退化为单支树，查找效率为：O(N)。

因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中 插入新结点 后，如果能 保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1 （需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均 搜索长度。

• 它的左右子树都是 AVL 树。
• 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过 1（-1/0/1）。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在 O(log₂n)，搜索时间复杂度 O(log₂n)。

为什么左右子树高度差不规定成0呢？

因为在 2、4 等节点数的情况下，不可能做到左右高度相等的情况。

2、AVL 树节点的定义

AVL 树节点是一个 三叉链结构，除了 指向左右孩子的指针，还有一个 指向其父亲的指针，数据域是键值对，即 pair 对象，还引入了平衡因子，用来判断是否需要进行平衡操作。

// AVL树节点的定义（KV模型）
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<T>* _left;   // 该节点的左孩子AVLTreeNode<T>* _right;  // 该节点的右孩子AVLTreeNode<T>* _parent; // 该节点的双亲指针pair<K, V> _kv;          // 键值对int _bf;                 // 该节点的平衡因子(balance factor) = 右子树高度-左子树高度// 构造函数AVLTreeNode(const pari<K, V>& kv): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}
};// AVL树的定义（KV模型）
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:// 成员函数private:Node* _root;
}

// 插入节点
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{// 如果树为空，则直接插入节点if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}// 如果树不为空，找到适合插入节点的空位置Node* parent = nullptr; // 记录当前节点的父亲Node* cur = _root;      // 记录当前节点while (cur) // while循环结束，说明找到适合插入节点的空位置了{if(kv.first > cur->_kv.first) // 插入节点键值k大于当前节点{parent = cur;cur = cur->_right;}else if(kv.first < cur->_kv.first) // 插入节点键值k小于当前节点{ parent = cur;cur = cur->_left;}else // 插入节点键值k等于当前节点{return false;}}// 插入新节点cur = new Node(kv); // 申请新节点// 判断当前节点是父亲的左孩子还是右孩子if (cur->_kv.first > parent->_kv.first){parent->_right = cur;     }else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 控制平衡// 1、更新平衡因子// ...return true;
}

⚪更新平衡因子

（1）插入新节点cur 插入后，parent 的平衡因子一定需要调整，在插入之前，parent 的平衡因子分为三种情况：-1，0，1，分以下两种情况：

• 如果 cur 插入到 新节点父亲（parent） 的左侧，只需给 父亲（parent） 的平衡因子--（_bf--）即可。
• 如果 cur 插入到 新节点父亲（parent） 的右侧，只需给 父亲（parent） 的平衡因子++（_bf++）即可。

 （2）新节点父亲的平衡因子更新以后，又会分为 3 种情况：

此时：parent的平衡因子可能有三种情况：0，正负 1， 正负 2。

1. 如果更新以后，parent 的平衡因子是 0（则说明插入之前 parent 的平衡因子之前一定为 1/-1），说明父亲所在子树高度没变（因为把矮的那边给填补上了），此时满足 AVL 树的性质，插入成功，不需要继续往上更新。
2. 如果更新以后，parent 的平衡因子是 1/-1（则说明插入之前 parent 的平衡因子 一定为 0），说明父亲所在子树高度增加，需要继续往上更新。（最坏情况：往上一直更新到根节点）。
3. 如果更新以后，parent 的平衡因子是 2/-2，说明父亲所在子树出现了不平衡，需要对其进行旋转处理。

// 插入节点
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{// 控制平衡// 1、更新平衡因子while (parent) // 最坏情况：更新到根节点{// 更新双亲的平衡因子if (cur == parent->_left) // 新节点插入在父亲的左边parent->_bf--;else // 新节点插入在父亲的右边parent->_bf++;// 更新后检测双亲的平衡因子if (0 == pParent->_bf){    break;}//else if (1 == parent->_bf || -1 == parent->_bf)else if (abs(parent->_bf) == 1) // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整{cur = parent;parent = cur->_parent;}else if (abs(parent->_bf) == 2) // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以parent为根的树进行旋转处理{// 1、父节点的右边高，左边低，需要往左旋if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) {RotateL(parent); // 左单旋}// 2、父节点的左边高，右边低，需要往右旋else if ((parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)){RotateR(parent); // 右单旋}// 3、父节点的左边高，且父节点左孩子的右边高else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) {RotateLR(parent); // 左右双旋}// 4、父节点的右边高，且父节点右孩子的左边高else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent); // 右左双旋}break; // 旋转完成，树已平衡，退出循环}// 除了上述3种情况，平衡因子不可能有其它的值，报错处理else{assert(false);}}return true;
}

4、AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。

根据节点插入位置的不同，AVL 树的旋转分为四种：

旋转的本质：在遵循二叉搜索树的规则下，让左右均衡，降低整棵树的高度。

该进行哪种旋转操作？

引发旋转的路径是直线就是单旋，如果是折线就是双旋。

注意：此处看到的树，可能是一颗完整的树，也可能是一颗子树。

（1）新节点插入较高左子树的左侧 —— 左左：右单旋

将新的节点插入到了 parent 左孩子的左子树上，导致的不平衡的情况。

上图在插入前，AVL 树是平衡的，新节点插入到 30 的左子树（注意：此处不是左孩子）中，30 左子树增加了一层，导致以 60 为根的二叉树不平衡，要让 60 平衡，只能将 60 左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样 60 转下来，因为 60 比 30 大，只能将其放在 30 的右子树，而如果 30 有右子树，右子树根的值一定大于 30，小于 60，只能将其放在 60 的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。

---

【引发右单旋的条件】

• 父亲左边高，右边低，所以要让父亲往右旋。
• parent 的平衡因子为 -2，parent 左孩子平衡因子为 -1，观察发现，平衡因子都是负数，说明是左边高，也说明了引发旋转的路径是一条直线，所以我们要右旋操作。

---

【右单旋操作】

1、让 subL 的右子树 subLR 成为 parent 的左子树（因为 subLR 的右子树根节点值 > 30，< 60）。
2、让 parent 成为 subL 的右子树（因为 60 > 30）。
3、让 subL 变成这个子树的根。

这一步操作前需要先判断下：parent 是根节点，还是一个普通子树

• 如果是根节点，旋转完成后，则更新 subL 为新的根节点。
• 如果是普通子树（可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，这里作一个判断），然后更新 subL 为这个子树的根节点。

4、根据树的结构，更新 parent 和 subL 的平衡因子为 0。

---

在旋转过程中，更新双亲指针的指向，有以下几种情况需要考虑：

• 30 节点的右孩子可能存在，也可能不存在。（subL 的右子树 subLR 可能存在，也可能为空。当不为空时才更新 subL 右子树 subLR 的双亲指针指向）。
• 60 可能是根节点，也可能是子树。（旋转完成后，subL 的双亲节点，可能是空，也可能是 parent 原先的父节点。所以在更新 subL 的双亲指针前需要判断下）。

依次调整 subLR、parent、subL 的位置和双亲指针的指向。 

// 右单旋
void _RotateR(Node* parent)
{  Node* subL = parent->_left; // subL : parent的左孩子Node* subLR = subL->_right; // subLR : parent左孩子的右孩子// 旋转完成之后，让subL的右子树subLR成为parent的左子树parent->_left = subLR;// 如果subLR存在，更新subLR的双亲指针，指向parentif (subLR){subLR->_parent = parent;}// 因为parent可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存parent的父节点Node* ppNode = parent->_parent;// 让parent成为subL的右子树subL->_right = parent;// 更新parent的双亲指针，指向subLparent->_parent = subL;// 如果parent是根节点，根新指向根节点的指针if (_root == parent){_root = subL;            // 更新subL为新的根subL->_parent = nullptr; // 更新subL的双亲指针，指向空}// parent不是根节点，就是一个普通子树else{// 判断parent原先是左孩子还是右孩子if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL; // parent原先的双亲节点接管subL，subL为这个子树的根}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode; // 更新subL的双亲指针}// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子parent->_bf = pSubL->_bf = 0;
}

（2）新节点插入较高右子树的右侧 —— 右右：左单旋

【引发左单旋的条件】

• 父亲右边高，左边低，所以要让父亲往左旋。
• parent 的平衡因子为 2，parent 左孩子平衡因子为 1，观察发现，平衡因子都是正数，说明是右边高，也说明了引发旋转的路径是一条直线，所以我们要右旋操作。

---

【右单旋操作】

1、让 subR 的左子树 subRL 成为 parent 的右子树（因为 subRL 的左子树根节点值 > 30，< 60）。
2、让 parent 成为 subR 的左子树（因为 30 < 60）。
3、让 subR 变成这个子树的根。

这一步操作前需要先判断下：parent 是根节点，还是一个普通子树

• 如果是根节点，旋转完成后，则更新 subR 为新的根节点。
• 如果是普通子树（可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，这里作一个判断），然后更新 subR 为这个子树的根节点。

4、根据树的结构，更新 parent 和 subR 的平衡因子为 0。

---

在旋转过程中，更新双亲指针的指向，有以下几种情况需要考虑：

• subR 的左子树 subRL 可能存在，也可能为空。（当不为空时才更新 subR 左子树 subRL 的双亲指针指向）。
• 旋转完成后，subR 的双亲节点，可能是空，也可能是 parent 原先的父节点。（所以更新 subR 的双亲指针前需要判断下）。

依次调整 subRL、parent、subR 的位置和双亲指针的指向。

// 左单旋
void treeRotateLeft(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right; // subR：父亲的右孩子Node* subRL = subR->_left; // subRL：父亲的右孩子的左孩子（大于父亲，小于subR）// 让subRL成为父亲的右子树parent->_right = subRL;// 如果subRL不为空if (subRL){subRL->_parent = parent; // 更新subRL双亲指针，指向parent}// 因为parent可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存parent的父节点Node* ppNode = parent->_parent;// 让parent成为subR的左子树subR->_left = parent; // 更新parent双亲指针的指向parent->_parent = subR;// 判断parent是不是根节点if (parent == _root){_root = subR;            // subR为新的根subR->_parent = nullptr; // subR双亲指针指向空}// 不是根节点，就是一个普通子树else{// 判断parent原先是左孩子还是右孩子if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subR; // parent原先的双亲节点接管subR，subR为这个子树的根}else{ppNode->_right = subR;}subR->_parent = ppNode; // 更新subR的双亲指针}// 根据树的结构，更新parent和subR的平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

（3）新节点插入较高左子树的右侧 —— 左右：先左单旋再右单旋（左右双旋）

将新的节点插入到了 parent 左孩子的右子树上，导致的不平衡的情况。

这时我们需要的是先对 parent 的右孩子进行一次左旋，再对 parent 进行一次右旋。

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对 30 进行左单旋，然后再对 90 进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

旋转之前，60 的平衡因子可能是 -1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整。

【h == 0】 

【引发双旋的条件】

引发旋转的路径是直线就是单旋，如果是折线就是双旋。

parent 的平衡因子为 -2，parent 左孩子的平衡因子为 1，观察发现，平衡因子是一负一正，说明左孩子右边高，父亲左边高，也说明了引发旋转的路径是一条折线，所以我们要先对左孩子进行左旋操作，再对父亲进行右旋操作。

---

左右双旋操作后，根据树的结构，更新平衡因子时，需要注意：

插入新节点的位置不同，经过左右双旋后，得到树的结构也会有所不同，平衡因子也会有所不同，有以下三种情况：

1. 新节点插入到了 parent 左孩子的右子树的左边。
2. 新节点插入到了 parent 左孩子的右子树的右边。
3. 新节点就是 parent 左孩子的右孩子。

这里可以观察到一个现象，根据这个现象就很好推出旋转后的平衡因子：

节点 60 的左右子树被分走了，左子树最终成为了节点 30 的右子树，右子树最终成了节点 90 的左子树。

void _RotateLR(PNode pParent)
{Node* subL = parent->_left; // 记录parent的左孩子Node* subLR = subL->_right; // 记录parent的左孩子的右孩子// 旋转之前，因为插入新节点的位置不同，subLR的平衡因子可能是-1/0/1int bf = subLR->_bf; // 记录subLR的平衡因子// 先对parent的左孩子进行左单旋RotateL(parent->_left);// 再对parent进行右单旋RotateR(parent);// 旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整subLR->_bf = 0;if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}	else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

（4）新节点插入较高右子树的左侧 —— 右左：先右单旋再左单旋（右左双旋）​​​​​​​

将新的节点插入到了 parent 右孩子的左子树上，导致的不平衡的情况。

这时我们需要的是先对 parent 的右孩子进行一次右旋，再对 parent 进行一次左旋。

【h == 1】

【引发双旋的条件】

引发旋转的路径是直线就是单旋，如果是折线就是双旋。
parent 的平衡因子为 2， parent 右孩子平衡因子为 -1，观察发现，平衡因子是一正一负，说明右孩子左边高，父亲右边高，也说明了引发旋转的路径是一条折线，所以我们要先对右孩子进行右旋操作，再对父亲进行左旋操作。

---

左右双旋操作后，根据树的结构，更新平衡因子时，需要注意：

插入新节点的位置不同，经过右左双旋后，得到树的结构也会有所不同，平衡因子也会有所不同，有以下三种情况：

• 新节点插入到了 parent 右孩子的左子树的左边。
• 新节点插入到了 parent 右孩子的左子树的右边。
• 新节点就是 parent 右孩子的左孩子。

这里可以观察到一个现象，根据这个现象就很好推出旋转后的平衡因子：

节点 60 的左右子树被分走了，左子树 b 最终成了节点 30 的右子树，右子树 c 最终成了节点 90 的左子树。

// 右左双旋
void treeRotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right; // 记录parent的右孩子Node* subRL = subR->_left;   // 记录parent的右孩子的左孩子// 旋转之前，因为插入新节点的位置不同，subRL的平衡因子可能为-1/0/1int bf = subRL->_bf; // 记录subRL的平衡因子RotateR(parent->_right); // 先对parent的右孩子进行右单旋RotateL(parent);         // 再对parent进行左单选// 旋转完成之后，根据树的结构对其他节点的平衡因子进行调整subRL->_bf = 0;if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if(bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

【总结】

假如以 parent 为根的子树不平衡，即 parent 的平衡因子为 2/-2，分以下情况考虑：

1、parent 的平衡因子为 2，说明 parent 的右子树高，设 parent 的右子树的根为 subR。

• 当 subR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋。
• 当 subR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋。

2、parent 的平衡因子为 -2，说明 parent 的左子树高，设 parent 的左子树的根为 subL。

• 当 subL 的平衡因子为 -1 时，执行右单旋。
• 当 subL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋。

旋转完成后，原 parent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

5、AVL树的验证

1、验证其为二叉搜索树

• 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。

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2、验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过 1（注意节点中如果没有平衡因子）。
• 节点的平衡因子是否计算正确。

（1）首先写一个计算当前树高度的函数

// 计算当前树的高度
int Height(Node* root)
{// 当前树为空，则高度为0if (root == nullptr)return 0;// 当前树的高度 = 左右子树中高度最大的那个加1return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;
}

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（2）检查AVL树是否平衡：【思路一】自顶向下的暴力解法

bool IsBalance1()
{return _IsBalance(_root);
}bool _IsBalance1(Node* root)
{// 当前树为空，说明是平衡的if (root == nullptr)return true;// 当前树不为空，计算左右子树的高度int leftHT = Height(root->_left);int rightHT = Height(root->_right);int diff = rightHT - leftHT;if (diff != root->_bf) // 检查当前树的平衡因子是否计算正确{cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// 左右子树高度相减的绝对值小于2，说明当前树是平衡的，则继续往下判断其它子树return abs(diff) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);
}

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（3）检查AVL树是否平衡【思路二】自底向上的高效解法（动态规划，前一个子问题的解，能够用于后一个问题求解）

bool IsBalance2()
{return _IsBalance2(_root) != -1;
}int _IsBalance2(Node* root)
{// 先判断当前树的左、右子树是否平衡，再判断当前树是否平衡// 不平衡返回-1，平衡则返回当前树的高度// 当前树为空，返回高度0if (root == nullptr)return 0;// 当前树不为空，分别计算左右子树的高度int leftHeight = _IsBalance2(root->_left);int rightHeight = _IsBalance2(root->_right);int diff = rightHT - leftHT;if (diff != root->_bf) // 检查当前树的平衡因子是否计算正确{cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;}// 左子树高度等于-1、右子树高度等于-1、左右子树高度差的绝对值大于1，说明当前树不平衡if (leftHeight == -1 || rightHeight == -1 || abs(diff) > 1)return -1;// 运行到这里来了，说明当前树是平衡的，返回当前树的高度return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}

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（4）【思路三】

bool _IsBalanceTree3(Node* root)
{// 空树也是AVL树if (nullptr == root)return true;// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (diff != root->_bf || (diff > 1 || diff < -1))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree3(root->_left) && _IsBalanceTree3(root->_right);}

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3、验证用例

• 常规场景 1：{16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}
• 特殊场景 2：{4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}

6、AVL树的删除（了解） 

因为 AVL 树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

7、AVL 树的性能

AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 O(logN)。

但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。

因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。