UVa10976 Fractions Again?!(分数拆分)

1、题目

在这里插入图片描述

2、题意

输入正整数 k k k,找到所有正整数 x ≥ y x \ge y xy,使得 1 k = 1 x + 1 y \frac{1}{k} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} k1=x1+y1

3、分析

既然要求找出所有的 x , y x,y x,y,枚举对象自然是 x , y x,y x,y了。可问题在于,枚举的范围如何?从 1 / 12 = 1 / 156 + 1 / 13 1/12 = 1/156 + 1/13 1/12=1/156+1/13 可以看出, x x x 可以比 y y y 大很多。难道要无休止枚举下去?当然不是。由于 x ≤ y x \le y xy,有 1 x ≤ 1 y \frac{1}{x} \le \frac{1}{y} x1y1,因此 1 k − 1 y ≤ 1 y \frac{1}{k} - \frac{1}{y} \le \frac{1}{y} k1y1y1,即 y ≤ 2 k y \le 2k y2k。这样,只需要在 2 k 2k 2k 范围之内枚举 y y y,然后根据 y y y 尝试计算出 x x x 即可。

4、代码实现

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;int main() {int k;while(scanf("%d", &k) == 1 && k) {vector<int> X, Y;for(int y = k+1; y <= k*2; y++) {// 1/k = 1/x + 1/y => x = ky/(y-k)if(k*y%(y-k) == 0) { X.push_back(k*y/(y-k)); Y.push_back(y); }}printf("%d\n", X.size());for(int i = 0; i < X.size(); i++)printf("1/%d = 1/%d + 1/%d\n", k, X[i], Y[i]);}return 0;
}

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