🙌作者简介：数学与计算机科学学院出身、在职高校高等数学专任教师，分享学习经验、生活、 努力成为像代码一样有逻辑的人！
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⭐ 高等数学专栏介绍：本专栏系统地梳理高等数学这门课的知识点，参考书主要为经典的同济版第七版《高等数学》以及作者在高校使用的《高等数学》系统教材。梳理《高等数学》这门课，旨在帮助那些刚刚接触这门课的小白以及需要系统复习这门课的考研人士。希望自己的一些经验能够帮助更多的人。

函数的间断点

1. 定义

如果函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 的间断点.

2. 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续的情况

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，如果函数 $y=f(x)$ 有下列三种情况之一：

• ① $f(x)$ 在点 $x_0$ 处无定义；
• ② $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有定义，但极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在；
• ③ $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有定义，且极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 也存在，但 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$.
  则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，也称点 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点.

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间断点的分类

根据上述间断点的几种情形，可将间断点分成两大类：第一类间断点和第二类间断点.

设 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点：

1. 第一类间断点

若当 $x\to x_0$ 时，左极限 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$ 和 右极限 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$ 均存在，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点；又根据左、右极限是否相等可将第一类间断点分为可去型间断点和跳跃型间断点.

（1）可去型间断点

如果左、右极限都存在并且相等，即 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$ = ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$，则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的可去型间断点.

（2）跳跃型间断点

如果左、右极限都存在但不相等，即 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)\ne$ ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的跳跃型间断点.

2. 第二类间断点

若当 $x\to x_0$ 时，左极限 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$ 和 右极限 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$ 至少有一个不存在，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点；又根据极限不存在的方式可将第二类间断点分为无穷型间断点和振荡型间断点.

（1）无穷型间断点

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的无穷型间断点.

（2）振荡型间断点

如果左、右极限振荡不存在的间断点，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的振荡型间断点. 其中振荡是不可以解出的答案，极限完全不存在.

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